先构造正确的平行四边形再求线段最小值

线段最值问题一直是几何动点问题中的热门考点，而其中又以武汉市的填空题最后一题颇具代表性，思维有一定难度，而一旦想明白，又显得特别简单，正所谓门难入，门后是坦途。读题过程也是构图过程，最高境界是读题的过程中，图形在头脑中逐渐成型，运动过程也变得明晰。

题目

已知点D与点A（0，6），B（0，-4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足3x-4y+12=0，则CD的最小值是_____

解析：

平行四边形四个顶点已知两个，第三个在直线上，第四个不确定，在此基础上求CD的最小值。初读后，发现这个任务不轻松，CD是平行四边形的边还是对角线？困扰了多数学生，于是，我们需要边作图，边细读第二遍。点A和点B在y轴上，点C满足的等式可以看作一个一次函数y=3/4x+3，我们先作出这些已知的图形，来尝试确定点D的位置，如下图：

第一次尝试，以AB为平行四边形的一条边，结果无论点C在何处，CD∥AB且CD=AB=10，最小值？有问题！再来！

第二次尝试，以AB为平行四边形的对角线，先找到它的中点P（0，1），根据平行四边形对角线互相平分，则CD一定被点P平分，如下图：

似乎比刚才的还要长，错了吗？思路没错，图形还需要修改，我们知道，CD=2PC，只要PC最小，则CD自然最小。继续观察PC的长度，其中点P为定点，点C所在直线为定直线，问题顺利转化成点到直线上何处最短，根据垂线段最短，知道当PC与直线y=3/4x+3垂直时最短，如下图：

接下来的思路就是坦途了，Rt△OEF是特殊直角三角形，其三边比满足3：4：5，而与之相似的△CPF中，点F（0，3）与点P（0，1）间PF=2，于是顺利得到PC=8/5，进而得到CD=16/5，即CD的最小值为16/5.

解题反思：

整个题目的难点在于构造平行四边形，基本的分类思想是AB这条已知线段为边或对角线，排除边的可能后，利用平行四边形对角线互相平分，将CD最小值转为求PC最小值，最后根据定点P和定直线间的垂线段最短得到最后结果。