我们知道,等腰三角形顶角的角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,(简称“三线合一”),它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。等腰三角形“顶角角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”,就可以说明是其他两线。运用等腰三角形“三线合一”的性质说明角相等、线段相等或垂直关系,可简化解题过程。下面我们将举例说明。

技巧一:利用“三线合一”求角

例1:如图,已知房屋的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱ADBC,屋椽ABAC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.

活用等腰三角形“三线合一”巧解题

例1图

【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C,再由三角形内角和定理即可求出∠B的度数,根据等腰三角形三线合一的性质即可求出∠BAD的度数.

【解答】解:∵△ABC中,ABAC,∠BAC=100°,

∴∠B=∠C=40°;

ABACADBC,∠BAC=100°,

AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD=50°.

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的内角和定理,熟记等腰三角形的性质﹣三线合一是解题的关键.

技巧二:利用“三线合一”求线段

例2:如图,在△ABC中,ABACADDBBCDEAB于点E,若CD=4,且△BDC的周长为24,求AE的长.

活用等腰三角形“三线合一”巧解题

例2图

【分析】由ADDBBCCD=4,且△BDC的周长为24知,ADDBBC=10,得ABAC=14,由ADDBDEAB,利用等腰三角形的性质得AEBEAB=7.

【解答】解:∵ADDBBCCD=4,且△BDC的周长为24,

ADDBBC=10,

AC=14,

ABAC

AB=14,

ADDBDEAB

AEBE=7.

【点评】本题主要考查考了等腰三角形的性质,掌握等腰三角形“三线合一”是解答此题的关键.

技巧三:利用“三线合一”说明线段(或角)相等

例3:已知,在△ABC中,∠A=90°,ABACDBC的中点,EF分别是ABAC上的点,且BEAF.请你判断△DEF形状,并说明理由;

活用等腰三角形“三线合一”巧解题

例3图

【分析】连接AD,构造全等三角形:△BED和△AFDAD是等腰直角三角形ABC底边上的中线,所以有∠CAD=∠BAD=45°,ADBDCD,而∠B=∠C=45°,所以∠B=∠DAF,再加上BEAFADBD,可证出:△BED≌△AFD,从而得出DEDF,∠BDE=∠ADF,从而得出∠EDF=90°,即△DEF是等腰直角三角形;

【解答】解:△DEF是等腰直角三角形.

如图,连接AD

活用等腰三角形“三线合一”巧解题


ABAC,∠BAC=90°,DBC中点,

ADBDCD,且AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD=45°,

在△BDE和△ADF中,

活用等腰三角形“三线合一”巧解题


∴△BDE≌△ADFSAS),

DEDF,∠BDE=∠ADF

∵∠BDE+∠ADE=90°,

∴∠ADF+∠ADE=90°,即∠EDF=90°,

∴△EDF为等腰直角三角形.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,关键是画出辅助线,构造全等三角形,利用全等三角形的对应边相等,对应角相等进行推算.

技巧四:利用“三线合一”说明垂直

例4:如图,△ABC中,AC=2ABAD平分∠BACBCDEAD上一点,且EAEC,求证:EBAB

活用等腰三角形“三线合一”巧解题

例4图

【分析】作EFACF,再根据等腰三角形的性质可得AFAC的一半,再证明△ABE≌△AFE可得∠ABE=∠AFE=90°.

【解答】证明:作EFACF

EAEC

AFFC

AC=2AB

AFAB

AD平分∠BACBCD

∴∠BAD=∠CAD

在△BAE和△FAE中,

活用等腰三角形“三线合一”巧解题


∴△ABE≌△AFESAS),

∴∠ABE=∠AFE=90°.

EBAB

技巧五:利用“三线合一”说明线段的倍数关系

例5:如图,已知在Rt△ABC中,∠A=90°,BD是∠ABC的平分线,DEBC的垂直平分线.试说明BC=2AB

活用等腰三角形“三线合一”巧解题

例5图

【分析】DE垂直平分BC,则有BC=2BE,只要证明BEAB即可,由BD是∠B的平分线,∠DAB=∠DEB=90°,BDBD,可证△ABD≌△EBD,从而有BEAB

【解答】证明:∵DEBC的垂直平分线,

BEECDEBC

∵∠A=90°,

DAAB

又∵BD是∠ABC的平分线,

DADE

又∵BDBD

∴△ABD≌△EBD

ABBE

BC=2AB

【点评】本题考查了垂直平分线的性质,角平分线的性质,以及全等三角形的判定及其性质的运用.

活用等腰三角形“三线合一”巧解题