有些数学问题表面上与一元二次方程无关,但是如果根据题目的特点,巧妙地构造一元二次方程来解(证),则更简洁明快,构造方程,即用已知条件作材料,用所求结论作变形方向,构造出一个方程形式,使得问题再现方程的观点下求解，体现数学的结构美.
一般而言，对于二次方程 ax1 ²＋bx1＋c=0 ，ax2 ²＋bx2＋c=0（a，b，c为常数且a≠0），其中的x1，x2 可看作方程 ax ²＋bx＋c=0（a≠0）的两根.
应注意其的前提是x1≠x2 ，这是因为当x1=x2时，x1与x2并不能完全保证是方程ax ²＋bx＋c=0 的两根，此时存在两种可能：
(1)．方程 ax ²＋bx＋c=0 （a≠0）有两个相等的实数根 ，即 x =x1 =x2 ；
(2)．方程 ax ²＋bx＋c=0 （a≠0）有两个不相等的实数根 ，其中x1，x2只是方程的其中一个根。
因而，在审题过程中必须看清是否有"x 1≠x2"这个条件，否则就会出现错误。常用构造一元二次方程的解题的策略如下：
类型一、利用根的定义构造：
若已知等式具有相同的结构，则可把某两个变元看做是关于某一个字母的一元二次方程的两根.
1．已知 p ²－2p－5=0 ，1/q ²－2/q－5=0，其中p，q为实数，且pq≠1，求p2＋1/q ²的值。
解：易知q≠0 ，故由 pq≠1 可得p≠1/q ，
又 1/q ²－2/q－5=0 即 （1/q）2 －2（1/q）－5=0 与 p ²－2p－5=0 形式相同，
从而可知 p，1/q为方程 x2－2x－5=0的两根，
∴ p ＋1/q =2, p ·1/q =－5,
∴ p2＋1/q ²=（p＋1/q）2－2p·1/q = 4－2×（－5）= 4＋10 = 14 。
方法点拨：上题中因为有 p≠1/q这个条件，因而可以逆用一元二次方程根的定义构造一元二次方程 x²－2x－5=0，从而利用韦达定理得解。
拓广变式：若把上题中的"pq≠1"这个条件去掉，将题目改为 " 已知 p²－2p－5=0，1/q ²－ 2/q－5 =0，其中p，q为实数，求p²＋1/q ²的值 ", 则解答过程应相应改为：
解：①、当p≠1/q时， p，1/q为方程 x² －2x－5=0 的两根，
∴ p＋1/q =2, p·1/q =－5 ，
∴ p²＋1/q ²=（p＋1/q）² －2p·1/q = 4＋10 = 14 。
②、当p = 1/q时，解p²－2p－5=0 得 p=1±√6 = 1/q ，
∴ p² ＋ 1/q ²=2p² =2（1±√6）² = 14±4√6 ，
∴由 ①、②可知 p²＋ 1/q ²的值为14或14＋4√6或14－4√6。
类型二、确定主元构造：
对于含有多个字母的等式，可以将等式整理为关于某一个字母的一元二次方程.
即y=±1当y=1时，得x=±1；当y=-1时，无解.
故满足方程的所有整数对为(1, 1), (－1, 1).
3. 若a，b，c为实数，且a²＋b²＋c²－ab－bc－ca＝0，求证：a＝b＝c．
证明 由已知等式，可构造关于c的一元二次方程c²－（a＋b）c＋（a²＋b²－ab）＝0．
∵c为实数，∴△＝[－（a＋b）] ²－4（a²＋b²－ab）＝－（a－b）²2≥0．
∵a，b为实数，∴（a－b) ²≥0，－3(a－b) ²≤0，
∴－3（a－b）²＝0，∴a＝b．同理可证b＝c，∴a＝b＝c．
类型三、利用求根公式构造一元二次方程
类型四、利用根与系数的关系构造：
若题目中出现形如x+y=a,xy=b的关系或隐藏着这种关系时，则
可看做是方程x²-ax+b=0的两实数根.
5. 假设x、y、z都是实数，且满足x+y+z=a, ①
x²+y²+z²=a²/2(a＞0) ②
试证：x、y、z都不能是负数，也不能大于2a/3
证明：由①式得：x+y=a-z ③
由(③²－②)÷2得xy=(a/2 -z) ²， ④
根据③、④构造一元二次方程t²-(a-z)t+(a/2-z) ²=0 ⑤
∵方程⑤有实根，
∴△=(a-z) ²-4(a/2-z) ²=-3z(z-2a/3) ≥0，
解这个关于
的一元二次不等式，得0≤z≤2a/3,
同理可证0≤x≤2a/3, 0≤y≤2a/3.
类型五、利用根的判别式构造：
若问题中出现形如△=b²-4ac的关系式时，可把a,b,c看做是一元二次方程的系数.
6. 已知(a-b) ²-4(b-c)(c-a)=0,求证：2c=a+b
简证：分两种情况讨论.
(1) 当b=c时，易得a=b=c，显然2c=a+b
(2) 当b≠c时，则可把b-c、a-b、c-a当做是有两个相等实数根的一元二次方程
(b-c)x²+(a-b)x+c-a=0的系数.
又∵(b-c)+(a-b)+(c-a)=0, ∴x1=x2=1,
由根与系数的关系得x1·x 2=(c-a)/(b-c)=1，即2c=a+b.
7. 已知n² (p－m) ²＝4mp(m－n)(n－p)，求证：1/m+1/m=2/p．
证明，由已知n² (p－m) ²＝4mp(m－n)(n－p)，
得n² (p－m) ²－4mp(m－n)(n－p)＝0．
∴方程p(m－n)x²＋n(p－m)x＋m(n－p)＝0(m≠n)有两个相等的实数根．
∵p(m－n)＋n(p－m)＋m(n－p)＝0，
∴方程的两个实数根为x1＝x2＝1．
根据根与系数的关系，得1×1=m(n-p)/p(m-n)
化简得mn＋np＝2mp，∴1/m+1/m=2/p（m≠n）
当m＝n时，由已知可得p＝m，此时亦有1/m+1/m=2/p成立，
综上，1/m+1/m=2/p成立．
类型六、利用平方法构造：
利用已知量与所求量存在的平方关系构造.
8.利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：x=√2+1时，移项得x﹣1=√2，两边平方得（x﹣1）²=（√2）²，所以x²﹣2x+1=2，即x²﹣2x﹣1=0．仿照上述构造方法，当x=(√6- 1)/2时，可以构造出一个整系数方程是（ ）
A．4x²+4x+5=0B．4x²+4x﹣5=0C．x²+x+1=0D．x²+x﹣1=0
【解答】由题意可得：x=(√6- 1)/2，
可变形为：2x=√6﹣1，则（2x+1）=√6，故（2x+1）²=6，
则可以构造出一个整系数方程是：4x²+4x﹣5=0．
故选：B。
9. 若y=3-√6，求y²-6y+5的值.
解析：∵y=3-√6，∴y-3=-√6.
∴两边平方并整理得，y²-6y+3=0, ∴原式=( y²-6y+3)+2=2.
通过以上9个题目解答学习，我们应意识到构造一元二次方程解题作为一种数学思维方法，在解决某些数学问题时，若能充分挖掘题目中潜在的信息，构造与之相关的函数，将陌生问题转化为熟悉问题，可使问题顺利解决。
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