01

行程问题

　　关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

解题关键及规律：

　　同时同地相背而行：路程=速度和×时间。

　　同时相向而行：相遇时间=速度和×时间

　　同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。

　　同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

例题：

　　甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？

　　分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。

　　已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小时）

02

流水问题

　　一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

相关概念：

　　船速：船在静水中航行的速度。

　　水速：水流动的速度。

　　顺水速度：船顺流航行的速度。

　　逆水速度：船逆流航行的速度。

　　顺速=船速＋水速

　　逆速=船速－水速

解题关键：

　　因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。

解题规律：

　　船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2

　　流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2

　　路程=顺流速度× 顺流航行所需时间

　　路程=逆流速度×逆流航行所需时间

例题：

　　一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？

　　分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。

　　列式为 28—4 × 2=20 （千米）

　　2 0 × 2 =40 （千米）

　　40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小时）

　　28 × 5=140 （千米）。

03

还原问题

　　已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。

解题关键：

　　要弄清每一步变化与未知数的关系。

解题规律：

　　从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。

　　根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。

　　解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。

例题：

　　某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？

　　分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4 ，以四班为例，它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。

　　四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 （人）

　　一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+6=42 （人） 三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。

04

盈亏问题

　　在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。

解题关键：

　　盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。

解题规律：

　　总差额÷每人差额=人数

总差额的求法可以分为以下四种情况：

　　第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足

　　第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足

　　第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余

　　第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足

例题：

　　参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？

　　分析：每个同学分到的色笔相等。

　　这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。

　　列式为（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。

05

鸡兔问题

　　已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

解题关键：

　　解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。

解题规律：

　　（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数

　　兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2

　　如果假设全是兔子，可以有下面的式子：

　　鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2

　　兔的头数=总头数-鸡的只数

例题：

　　鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？

　　兔子只数 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只）

　　鸡的只数 50-35=15 （只）

06

　　其他

必背公式

　　三角形的面积＝底×高÷2。 公式 S= a×h÷2

　　正方形的面积＝边长×边长 公式 S= a×a

　　长方形的面积＝长×宽 公式 S= a×b

　　平行四边形的面积＝底×高 公式 S= a×h

　　梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2

　　内角和：三角形的内角和＝180度。

　　长方体的体积＝长×宽×高 公式：V=abh

　　长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 公式：V=abh

　　正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 公式：V=aaa

　　圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr

　　圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr²

　　圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh

　　圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2

　　圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh

　　圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh

07

有关代数

列方程解应用题

　　1 列方程解应用题的意义

　　* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。

　　2 列方程解答应用题的步骤

　　* 弄清题意，确定未知数并用x表示；

　　* 找出题中的数量之间的相等关系；

　　* 列方程，解方程；

　　* 检查或验算，写出答案。

3列方程解应用题的方法

* 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程，其思考方向是从已知到未知。

* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。

08

几何基础

一、 线和角

　　（1）线

　　* 直线

　　直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。

　　* 射线

　　射线只有一个端点；长度无限。

　　* 线段

　　线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。

　　* 平行线

　　在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

　　两条平行线之间的垂线长度都相等。

　　* 垂线

　　两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。

　　从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。

（2）角

　　（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

　　（2）角的分类

　　锐角：小于90°的角叫做锐角。

　　直角：等于90°的角叫做直角。

　　钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

　　平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。

　　周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。

二 、平面图形

　　1长方形

　　（1）特征

　　对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。

　　（2）计算公式

　　c=2(a+b)

　　s=ab

　　2正方形

　　（1）特征：

　　四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。

　　（2）计算公式

　　c=4a

　　s=a²

　　3三角形

　　（1）特征

　　由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。

　　（2）计算公式

　　s=ah/2

　　（3） 分类

　　按角分

　　锐角三角形 ：三个角都是锐角。

　　直角三角形 ：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。

　　钝角三角形：有一个角是钝角。

　　按边分

　　不等边三角形：三条边长度不相等。

　　等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。

　　等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。

　　4平行四边形

　　（1） 特征

　　两组对边分别平行的四边形。

　　相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。

　　（2） 计算公式

　　s=ah

　　5 梯形

　　（1）特征

　　只有一组对边平行的四边形。

　　中位线等于上下底和的一半。

　　等腰梯形有一条对称轴。

　　（2） 公式

　　s=(a+b)h/2=mh

　　6 圆

　　（1） 圆的认识

　　平面上的一种曲线图形。

　　圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。

　　半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。

　　在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。

　　通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。

　　同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。

　　同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。

　　圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。

　　（2）圆的画法

　　把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；

　　把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；

　　把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

　　（3） 圆的周长

　　围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

　　把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。

　　（4） 圆的面积

　　圆所占平面的大小叫做圆的面积。

　　（5）计算公式

　　d=2r

　　r=d/2

　　c=πd

　　c=2πr

　　s=πr²

　　7扇形

　　扇形的认识

　　一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

　　圆上AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。

　　顶点在圆心的角叫做圆心角。

　　在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。

　　扇形有一条对称轴。

三 立体图形

　　（一）长方体

　　1 特征

　　六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。

　　相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。

　　有8个顶点。

　　相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。

　　两个面相交的边叫做棱。

　　三条棱相交的点叫做顶点。

　　把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。

　　长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

　　2 计算公式

　　s=2(ab+ah+bh)

　　V=sh

　　V=abh

　　（二）正方体

　　1 特征

　　六个面都是正方形

　　六个面的面积相等

　　12条棱，棱长都相等

　　有8个顶点

　　正方体可以看作特殊的长方体

　　2 计算公式

　　S表=6a²

　　v=a³

　　（三）圆柱

　　1圆柱的认识

　　圆柱的上下两个面叫做底面。

　　圆柱有一个曲面叫做侧面。

　　圆柱两个底面之间的距离叫做高 。

　　进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。

　　2计算公式

　　s侧=ch

　　s表=s侧+s底×2

　　v=sh/3

　　（四）圆锥

　　1 圆锥的认识

　　圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。

　　从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

　　测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。

　　把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 2计算公式

　　v= sh/3

　　（五）球

　　1 认识

　　球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。

　　球和圆类似，也有一个球心，用O表示。

　　从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。

　　通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示,每条直径都相等,直径的长度等于半径的2倍，即d=2r。