已知函数f(x)=lnx+a/x(a>0).

(Ⅰ) 若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;

(Ⅱ) 证明:当a≥2/e,b>1时,f(lnb)>1/b.

解:(Ⅰ)法1:函数f(x)=lnx+a/x的定义域为(0,+∞).

由f(x)=lnx+a/x,得f'(x)=1/x-a/x2=(x-a)/x2.…

因为a>0,则x∈(0,a)时,f'(x)<0;x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.

所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.…

当x=a时,[f(x)]min=lna+1.…

当lna+1≤0,即0<a≤1/e时,又f(1)=ln1+a=a>0,则函数f(x)有零点.…

所以实数a的取值范围为(0,1/e].…

法2:函数f(x)=lnx+a/x的定义域为(0,+∞).

由f(x)=lnx+a/x=0,得a=﹣xlnx.…

令g(x)=﹣xlnx,则g'(x)=﹣(lnx+1).

当x∈(0,1/e)时,g'(x)>0; 当x∈(1/e,+∞)时,g'(x)<0.

所以函数g(x)在(0,1/e)上单调递增,在(1/e,+∞)上单调递减.…

故x=1/e时,函数g(x)取得最大值g(1/e)=-1/e·ln(1/e)=1/e.…

因而函数f(x)=lnx+a/x有零点,则0<a≤1/e.…

所以实数a的取值范围为(0,1/e].…

(Ⅱ)证明:令h(x)=xlnx+a,则h'(x)=lnx+1.

当0<x<1/e时,h'(x)<0;当x>1/e时,h'(x)>0.

所以函数h(x)在(0,1/e)上单调递减,在(1/e,+∞)上单调递增.

当x=1/e时,[h(x)]min=-1/e+a.…

于是,当a≥2/e时,h(x)≥-1/e+a≥1/e.①…

令φ(x)=xe﹣x,则φ'(x)=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x(1﹣x).

当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0.

所以函数φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

当x=1时,[Ф(x)]max=1/e.…

于是,当x>0时,Ф(x)≤1/e.②…

显然,不等式①、②中的等号不能同时成立.

故当x>0,a≥2/e时,xlnx+a>xe﹣x.…

因为b>1,所以lnb>0.

所以lnb•ln(lnb)+a>lnb•e﹣lnb.…

所以ln(lnb)+a/lnb>1/b,即f(lnb)>1/b.…


考点分析:

利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

题干分析:

(Ⅰ)法一:求出函数f(x)的导数,得到函数的单调区间,求出f(x)的最小值,从而求出a的范围即可;

法二:求出a=﹣xlnx,令g(x)=﹣xlnx,根据函数的单调性求出g(x)的最大值,从而求出a的范围即可;

(Ⅱ)令h(x)=xlnx+a,通过讨论a的范围,根据函数的单调性证明即可.