一、换元法

在问题解决中,引入一个或几个新“元”代换问题中的旧“元”,使关于新元的问题能够解决;解决以后再将结果反演回去,得出旧元问题的结果,这种方法叫做换元法,也叫代换法。

“元”可以是任何意义下的基本元素,如未知数、变量、常量、几何元素等,也可以是一个整体,如代数式、图形等。本节来介绍下在解题过程中常用到的三种换元法。

第一换元法(旧式换为新元)

模式: f [ ψ(x) ] = f ( u ) ,其代换为 ψ(x) = u .

例题1、已知

函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用

例题1图(1)

解:将已知等式改写为

函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用

例题1图(2)

注:解题的关键是能把 t^2 + 1/t^2 凑成 t - 1/t 的表达式,所以这是凑法换元 。

例题2、求函数

函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用

例题2图(1)

解:

函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用

例题2图(2)

注:由函数 y = f ( x )换元为 y = ψ(u),不但转换解析式也要注意转换定义域。

第二换元法(旧元换为新式)

模式: f(x)= f [ ψ(u)] ,其代换为 x = ψ(u) .

在方程的观点上,第二换元法是把方程 y = f ( x ) 化为参数方程 : x = ψ(u) ,u = f(u), (u为参数)。

例题3、解不等式

函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用

例题3图(1)

解:

函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用

例题3图(2)

注:这是正切代换,遇见 √(1+t^2),可作代换 t = tanθ , θ∈(-π/2 ,π/2),其中 θ 的范围必须设出,保证代换是等价的。

例题4、求函数

函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用

例题4图(1)

解:函数的定义域是 [-1/2 ,0 )∪ (0 , 1/2 ] ,

函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用

例题4图(2)

注:这是正弦代换,遇见 √(1-x^2),可作代换 x = sinθ , 或 x = cosθ,要根据 x 的范围确定 θ 的范围 。

第三换元法(旧式换为新式,及广义换元)

例题5、求函数

函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用

例题5图(1)

解:

函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用

例题5图(2)

例题6、已知复数 z 满足 ∣2z + i∣ = 2 , 求 ∣3z - 4i∣ 的取值范围 。

解:(轨迹代换法)

设 W = 3z - 4i (W 是所求轨迹的动点),则 z = 1/3 (W + 4i)(z 是已知轨迹的动点)

代入已知轨迹方程 ∣2z + i∣ = 2 ,即 ∣2/3(W + 4i) + i∣ = 2 , 即 ∣W + 11/2 i∣ = 3 .

∴ 点 W 的轨迹是圆:圆心为 C (0,-11/2),半径为 r = 3 ,如下图所示

函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用

例题6图

∴ ∣OA∣ ≤ ∣W∣ ≤ ∣OB∣

其中 ∣OA∣ = 11/2 - 3 = 5/2 , ∣OB∣ = 11/2 + 3 = 17/2 .

∴ 5/2 ≤ ∣3z - 4i∣ ≤ 17/2 .