一元二次方程的解法——配方法/八年级暑期学习（三）

本文学习配方法解一元二次方程。

准备知识：完全平方式；二次根式的化简；解方程的移项、合并、系数化为1.

一、什么是完全平方式

1.形如a²+2ab+b²或a²+2ab+b²的式子叫做完全平方式。

2.完全平方式的特征：

3.练习：在下列横线上填入适当的数使等式成立

(1)x²+6x+_____ =(x+__)² ； (2) y²-2y+____=(y-___)²；(3)z²+z+___=(z+___)².

二、配方法

1.我们已经知道，用直接开平方法可以解以下类型的方程：

(1)ax²=0(b、c皆为0)；(2)ax²+c=0(b=0)；(3)a(x+b)²=c.(bc均不为0)

结论：在方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，当b=0时，都可以用直接开平方法来解。当b≠0时，含未知数部分必须是关于未知数的一次式的平方，才能用直接开平方法来解。

自然想到的问题是：不是完全平方式的怎么做？

2.转化思想是学习和研究数学的一种重要的思想方法。

比如

我们已经会用直接开平方法解方程(x-3)²=0，那么怎样解方程x²-6x+9=0呢？

注意观察，我们发现利用完全平公式，可以将x²-6x+9转化为(x-3)².进而把方程x²-6x+9=0转化为方程(x-3)²=0来解。

再比如，我们会解 (x-3)²=4，那我们怎么解 x²-6x+5=0呢？

通过观察，将方程x²-6x+5=0两边同时加上4，得x²-6x+9=4.

此时，方程的左边正好是完全平方式。分解得(x-3)²=4，

这样就把方程x²-6x+5=0转化为(x-3)²=4，从而找到解方程的途径。

3.像上面那样，将方程通过变形，使含未知数的部分变为完全平方式，然后，再用直接开平方法解方程的方法叫做配方法。

直接开平方法的步骤：

4.举例：

(1)二次项系数为1

(2)二次项系数不为1

关键：当二次项系数为1(不为1时，一般要先化为1)时，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。

4.练习：

用配方法解下列方程

(1) x²-9x-10=0; (2) 3x²-4x-7=0; (3) 4x²-12x+9=0;