如图,已知抛物线y=ax2﹣3x/2+c与x轴相交于A、B两点,并与直线y=x/2﹣2交于B、C两点,其中点C是直线y=x/2﹣2与y轴的交点,连接AC.

(1)求抛物线的解析式;

(2)证明:△ABC为直角三角形;

(3)△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG?(顶点D、E、F、G在△ABC各边上)若能,求出最大面积;若不能,请说明理由.

中考数学:函数几何最值相关的综合题


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题干分析:

(1)由直线y=x/2﹣2交x轴、y轴于B、C两点,则B、C坐标可求.进而代入抛物线y=ax2﹣3x/2+c,即得a、c的值,从而有抛物线解析式.

(2)求证三角形为直角三角形,我们通常考虑证明一角为90°或勾股定理.本题中未提及特殊角度,而已知A、B、C坐标,即可知AB、AC、BC,则显然可用勾股定理证明.

(3)在直角三角形中截出矩形,面积最大,我们易得两种情形,①一点为C,AB、AC、BC边上各有一点,②AB边上有两点,AC、BC边上各有一点.讨论时可设矩形一边长x,利用三角形相似等性质表示另一边,进而描述面积函数.利用二次函数最值性质可求得最大面积.

解题反思:

本题考查了二次函数图象的基本性质,最值问题及相似三角形性质等知识点,难度适中,适合学生巩固知识.

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