「初中数学」变换视角——辅助线构造法

视角决定视野，思路决定出路，方法决定效率，过程决定结果。

比如下面的图形，你可以看成是静止的、孤立的：

也可以换个角度，看成是运动的、联系的：

换个角度有什么不一样呢？

当然大不一样，比如辅助线的构造，如果从孤立静止的角度看有成千上万种构造方法，但如果从运动变换的角度来看，只有平移、旋转、翻折、缩放等有限的几种方式。

如此，我们就可以把各种方法概括归一，再一以贯之解决问题。

例如中点的处理方法，不管是以何种方式倍长中线、构造中位线或者作平行线，都可以归结为两种变换方式：

（1）以中点为中心旋转180°，

（2）以端点为中心1：2缩放。

如何以此法作辅助线呢？请看例题。

例1.ΔABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，延长BE交AC于F点，求证：AF=1/3AC.

法1：ΔACD绕点D旋转180度。

法2：ΔABD绕点D旋转180度。

法3：ΔBDE绕点E旋转180度。

法4：ΔAEF绕点E旋转180度。

法5：ΔBCF以点C为中心2：1缩放。

法6：ΔBDE以点D为中心1：2缩放。

法7：ΔACD以点C为中心1：2缩放。

法8：ΔBDE以点B为中心1：2缩放。

上述各种构造方法实质是一致的，即以中点为依托对其中任意一个相关三角形进行运动变换。

抓住根本规律，一以贯之，一生二，二生三，运用自如，变化无穷……

例2.已知点A(3, 1)，∠AOB=45°，OB=OA, 求点B的坐标.

从运动变换的角度来看图形，OA旋转45度得OB，所以把OA所在的已知三角形旋转45度就是构造辅助线的方法。

再依“化斜为直”的策略求“横纵距离”即可，其中ΔODE、ΔBEF都是等腰直角三角形。

可见，用运动变换的角度构造辅助图形，站位更高，视野更阔，更能把握全局看见本质，高效解决问题。