1、三角形的面积平分

①三角形的中线将三角形面积平分

②构造以下模型，通过等面积转换，作出面积平分线

如图，在梯形ABCD中，易证△OAB和△OCD面积相等，我们不妨称之为“蝴蝶模型”。

构造蝴蝶模型的关键点：平行线

构造蝴蝶模型的目的：等面积转换

例1、如图，过△ABC的底边BC上一定点P，求作一直线l，使其平分△ABC的面积.

简答：取BC中点M，连接AM，则△ABM和△ACM的面积相等，连接AP，过M作AP的平行线MN，构造“蝴蝶模型”如图，∵△OAN和△OPM面积相等，∴△BNP和四边形ACPN面积相等。

2、平行四边形的面积平分

结论1：过平行四边形中心的任意一条直线，平分该平行四边形的面积。

结论2：任何图形，只要能找到它的中心，那么过中心的直线平分这个图形的面积。

例2、如图平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点，过点P求作一条直线，使其平分平行四边形ABCD的面积。

简答：连接BD、AC交于O点，则直线PO即为所求作的直线。可用全等证明，过程略。

例3、现有如图的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮师傅设计三种不同的分割方案.

简答：如图所示，三种方法都是取大小两个平行四边形的中心，连接即可。

3、梯形的面积平分

结论1：梯形上下底中点的连线平分该梯形的面积。

结论2：过梯形上下底中点的连线的中点，且与上下底有交点的直线，平分该梯形的面积。

例4、如图：五边形ABCDE可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.

⑴ 请你作一条直线，使直线平分五边形ABCDE的面积；

⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.

简答：（1）取梯形上下两底中点连线的中点O，取矩形的中心P，则直线OP即为所求作直线l；

（2）这样的直线有无数条，设直线l与AE交于M，与BC交于N，取MN中点G，则过G点且与线段AE、BC均有交点的直线平分五边形ABCDE的面积。

4、不规则四边形的面积平分

对于不规则图形，如何作面积平分线呢?

如图四边形ABCD，过A点求作一条直线，使其平分四边形的面积。

做法：连接AC，过D作AC的平行线与BC延长线交于M点，连接AM，取BM的中点G，则直线AG平分四边形ABCD的面积。

理由如下：由“蝴蝶模型”知△AOD和△COM的面积相等，则△AGM和四边形AGCD的面积相等，又∵△AGM和△AGB的面积相等，∴△AGB和四边形AGCD的面积相等。

例5、过四边形ABCD的边AD上一点P，作一条直线，使其平分四边形的面积。

做法：连接PB、PC，过A作PB的平行线，过D作PC的平行线，与BC延长线分别交于M、N两点，连接PM、PN，取MN的中点Q，则直线PQ平分四边形ABCD的面积。

证明略

同步练习：