让我们先来了解“将军饮马”这个故事。

古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦。

有一天,有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题:如图,将军A从出发到河边饮马,然后再到B地军营视察,显然有许多走法.问怎样走路线最短呢?精通数理的海伦稍加思索,便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.

下面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题.

根据公理:连接两点的所有线中,线段最短.

若A、B在河流的异侧,直接连接AB,AB与l的交点即为所求.

若A、B在河流的同侧,根据两点间线段最短,那么显然要把折线变成直线再解.

初中数学,“将军饮马”的七大模型


将军饮海伦解决本问题时,是利用作对称点把折线问题转化成直线

现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理,即轴对称思想

轴对称的两个图形有如下性质:

①关于某条直线对称的两个图形是全等形;

②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线;

③两个图形关于某条直线对称,如果他们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.

将军饮马的数学问题,考察的知识点:“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。

解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。共有七大模型:

初中数学,“将军饮马”的七大模型

模型1,PA+PB最小

初中数学,“将军饮马”的七大模型

模型2,PA-PB最小

初中数学,“将军饮马”的七大模型

模型3,PA-PB最大

初中数学,“将军饮马”的七大模型


【变形】异侧时,也可以问:在直线l上是否存在一点P使得直线l为∠APB的角平分线

初中数学,“将军饮马”的七大模型

模型4,周长最短

初中数学,“将军饮马”的七大模型

模型5,“过河”最短距离

初中数学,“将军饮马”的七大模型

模型6,线段和最小

初中数学,“将军饮马”的七大模型


初中数学,“将军饮马”的七大模型

模型7,在直角坐标系的运用

初中数学,“将军饮马”的七大模型

题目巩固

1.如图,直线 l 和 l 的异侧两点 A、B,在直线 l 上求作一点 P,使 PA+PB 最小。

初中数学,“将军饮马”的七大模型


2.如图,直线 l 和 l 的同侧两点 A、B,在直线 l 上求作一点 P,使 PA+PB 最小。

初中数学,“将军饮马”的七大模型


3.如图,点 P 是∠MON 内的一点,分别在 OM,ON 上作点 A,B。使△PAB 的周长最小

初中数学,“将军饮马”的七大模型


4.如图,点 P,Q 为∠MON 内的两点,分别在 OM,ON 上作点 A,B。使四边形 PAQB 的周长最小。

初中数学,“将军饮马”的七大模型


5.如图,点 A 是∠MON 外的一点,在射线 ON 上作点 P,使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小

初中数学,“将军饮马”的七大模型


6.如图,点 A 是∠MON 内的一点,在射线 ON 上作点 P,使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小

初中数学,“将军饮马”的七大模型


当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高,或者求几条折线段的最小值等情况,通常考虑作轴对称变换,以“补齐”图形,集中条件。

所有的轴对称图形(角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴),都可以考察“将军饮马”问题。

初中数学,“将军饮马”的七大模型