在初中数学《全等三角形》中有许多的模型,这些模型是数学重要知识点的总结与运用,很多几何题中都有数学模型的影子,掌握好这些模型,孩子们学习几何就会比较简单,成绩不会差。

今天我要与大家分享是“一线三等角”模型,那么什么是“一线三等角”?顾名思义,一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。这个模型贯穿初中几何的始终,初三讲《相似三角形》时这也是一个非常重要的知识点。下面我们具体分析一下这个模型。

例题一:如图1=2=3,且它们的顶点在直线AB上,这就是一个一线三等角模型。

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型

模型分析:

因为1=2=3

所以:

ACE+AEC=CFB+BFC=ACE+BCF

易得:ACE=CFB,AEC=FCB

进而有△AEC∽△BCF(这是相似三角形一个重要的判定,我们将在初三学习),

如果再添加一组对应边相等,如CE=CF,或者是AE=BC,

那么就有△AEC≌△BCF.

模型性质总结

1、题目中只要满足一线三等角的条件,必相似;

2、题目如果两个条件:“一线三等角”对应边相等的两个条件,必全等。

模型常见背景:

“一线三等角”的背景图形一般为正方形、等边三角形、等腰三角形等等。

1. 正方形ABCD,有一个直角的顶点在边AB上

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型

2. 等边三角形ABC,有一个60°角的顶点在边AB上

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型

3. 等腰直角三角形ABC,有一个45°角的顶点在边AB上

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型

4.一线三直角

① ACB90°ADCEBECE

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型

ADACECACDCEC

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型

典型例题

(1) 如图,已知:在ABC中,BAC90°ABAC,直线m经过点ABD直线m

CE直线m,垂足分别为点DE.证明:DEBDCE

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型

【解析】


BD直线mCE直线m

∴∠BDACEA90°

∵∠BAC90°

∴∠BADCAE90°

∵∠BADABD90°

∴∠CAEABD

ABAC

∴△ADB≌△CEA

AEBDADCE

DEAEAD BDCE

(2)如图,将(1)中的条件改为:在ABC中,ABACDAE三点都在直线m上,并且有BDAAECBACa,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DEBDCE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型

【解析】

2∵∠BDABACα

∴∠DBABADBADCAE180°—α

∴∠DBACAE

∵∠BDAAECαABAC

∴△ADB≌△CEA

AEBDADCE

DEAEADBDCE

(3) 拓展与应用:如图,DEDAE三点所在直线m上的两动点(DAE三点互不重合),点FBAC平分线上的一点,且ABFACF均为等边三角形,连接BDCE,若BDAAECBAC,试判断DEF的形状.

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型

【解析】

3)易知,ADB≌△CEABDAEDBACAE

∵△ABFACF均为等边三角形

∴∠ABFCAF60°

∴∠DBAABFCAECAF

∴∠DBFFAEBFAF

∴△DBF≌△EAF(如下图所示)

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型

DFEFBFDAFE

∴∠DFEDFAAFEDFABFD60°

∴△DEF为等边三角形.

方法提炼

1 若题目中有一线三等角,可以直接证明相似或全等实现边与角的转化;

2 若题目中没有给出一线三等角,可以根据需要来构造。

综上所述,“一线三等角”是一个非常重要的模型,孩子们遇到这种情况时千万不要惊慌,就朝着三角形全等和相似考虑,肯定是没有问题的