三角形的三边关系为:三角形,任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边.由于是线段的不等量关系,我们在遇到求边或周长的范围以及一些不等量的习题时,就要想到利用这一性质,常见的应用如下:

一.判断三条线段能否组成三角形(最直接的方法是,若两条短线段的和大于最长的线段,则此三线段可构成三角形)

1.下列各组数中,不可能成为一个三角形三边长的是(____)

A.2,3,4.B.5,6,7.C.5,6,12.D.6,8,10.

2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是(____)

A.5,5,10.B.4,5,6.C.4,4,4.D.3,4,5.

二.求三角形第三边的长或取值范围

3.若a,b,c为三角形的三边长,且a,b满足|a²一9|+(b一2)²=0,则第三边长a的取值范围是______.

4.若一个三角形的两边长分别为5和8,则第三边长可能是(______).

A.14.B.10.C.3.D.2.

5.若三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是(_____).

A.6<L<15.B.6<L<16.C.11<L<13.D.10<L<16

6.一个三角形的两边长分别为5㎝和3㎝,第三边的长是整数,且周长是偶数,则第三边的长是(_____).

A.2㎝或4㎝.B4㎝或6㎝.C.4㎝.D.2㎝或6㎝.

三.求等腰三角形的边长及周长

7.已知实数x,y满足|x一4|+(y一8)²=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是(____).

A.20或16.B.20.C.16.D.以上均不对.

8.若等腰三角形的周长为10㎝,其中一边长为2㎝,则该等腰三角形的底边长为(_)

A.2㎝,B.4㎝.,C.6㎝,D.8㎝.

9.已知在△ABC中,AB=5,BC=2,且AC的长为奇数.

(1)求△ABC的周长;

(2)判断△ABC的形状.

解:(1)∵AB=5,BC=2,∴3<AC<7,又∵AC的长为奇数,∴AC=5,∴△ABC的周长为5+5+2=12.

(2)∵AB=AC=5,∴△ABC是等腰三角形

四.化简含绝对值的式子

10.已知a,b,c为三角形的三边长,化简:|b+c一a|+|b一c一a|一|c一a一b|一|a一b+c|.

【分析】化简绝对值,关键判断绝对值里边的代数式是正数、负数还是零.是正数或零,去掉绝对值,代数式保持不变;是负数,去掉绝对值后,代数式变为原来的相反数,之后,能合并的再合并同类项.本题通过三角形三边关系判断绝对值里边代数式的正、负情况.

解:∵a,b,c为三角形的三边长,∴b+c>a,a+c>b,a+b>c,∴b+c一a>0,b一c一a<0,c一a一b<0,a一b+c>0,∴原式=(b+c一a)一(b一c一a)+(c一a一b)一(a一b+c)=2c一2a.

五.证明线段不等关系

10.如图,已知P是△ABC内一点,求证:PA+PB+PC>(AB+BC+AC)

「初中数学」三角形三边关系的六种应用

【分析】AP,BP,CP把△ABC分为三个三角形,每个三角形两边和大于第三边,AP,BP,CP正好各用两次,也即2PA+2PB+2PC>AB+BC+AC,也即得证.

证明:在△ABP中,PA+PB>AB,在△ACP中,PA+PC>AC,在△BPC中,PB+PC>BC,∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,即PA+PB+PC>(AB+BC+AC)/2.

11.如图,P是正方形ABCD的边DC延长线上的一点,连结PA交BC于点E,求证:AP>AC.

「初中数学」三角形三边关系的六种应用

【分析】证明线段不等关系,想到三角形三边关系,可AC,AP,PC是在一个三角形中,但又引进了PC,那么就想到把AP折成两条线段和AC围成一个三角形,那么又怎样把AP分成两段呢?从图看∠ECP=90°,想到直角三角形斜边的中线,如图

「初中数学」三角形三边关系的六种应用

取PE的中点F,连结CF,则PF=CF,这样成功的把AP段分成AF,PF两段,CF等量代换PF,在△ACF中利用三边关系可证.

证明:取PE的中点F,连接CF,∵四边形ABCD是正方形,∴BC⊥DP,∴CF=FP=PE/2,在△AFC中,有AF十FC>AC,∴AF十FP>AC,即AP>AC.

12.如图,已知:D是△ABC的外角∠EAC的平分线上的一点.求证:DB+DC>AB+AC.

「初中数学」三角形三边关系的六种应用

【分析】要证DB+DC>AB+AC,可用三角形三边关系定理,但必须把BD、DC、AB+AC移到一个三角形中,可以从构造AB+AC入手,由于AD平分∠EAC,利用角平分线的对称性,将AC,AB移在一条线上,同时能将CD边进行转换,如图,

「初中数学」三角形三边关系的六种应用

在BA的延长线AE上截取AN=AC,连接DN则可构造出△DAN≌△DCA,则AC=AN,DC=DN,达到了所要的目的在△BDN中,BD+DN(DC)>AN(AB+AC).

证明:在BA的延长线AE上截取AN=AC,连接DN,∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠CAD,AD=AD,AN=AC,∴△ADN≌△ADC,∴DN=DC,在△BDN中,BD+DN>BN,∴BD+DC>AB+AC.

13.如图,P为△ABC内一点,求证:AB+AC>PB+PC.

「初中数学」三角形三边关系的六种应用

【分析】直接运用图中的△ABC和△PBC得到的AB+AC>BC,PB+PC>BC,不能解决问题,为使PB和CP同时出现在大于号右侧,则应构造新的三角形,可延长BP交AC于点D,或过点P作一直线.

证明:(一)如图,延长BP交AC于点D,

「初中数学」三角形三边关系的六种应用

在△ABD中,AB+AD>BD,即AB+AD>BP+PD,在△CDP中CD+PD>PC,∴AB+AD+CD+PD>BP+PD+PC,∴AB+AD+CD>BP+PC,即AB+AC>BP+PC.

证明:(二)如图,过点P任作一直线交AB于E交AC于F

「初中数学」三角形三边关系的六种应用

在△AEF中,AE+AF>EP+PF,在△BEP中,BE+EP>PB,在△PFC中,FC+PF>PC,∴(AE+BE)十(AF+FC)十EP+PF>PB+PC+EP+PF,∴AB+AC>PB+PC.

六.利用三角形三边关系求最值

13.如图∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A,B分别在OM,ON上,当点B在边ON上运动时,点A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,在运动过程中,点D到点O的最大距离是多少?

「初中数学」三角形三边关系的六种应用

【分析】动点问题,总的方法是,以静制动,取AB的中点H,OH=AB/2不变,由勾股定理得AD²+AH²=DH²,∴DH=√2,也不变,在△DOH中,OH在变,有OH+DH≥DO,则点D、H、O三点共线时取等号,所以点D到点O的最大距离为OH+DH=√2+1,如图.

「初中数学」三角形三边关系的六种应用

前八题答案如下:

1.C,2.A,3.1<c<5,4.B,5.D,6.B,7.B,8.A.

「初中数学」三角形三边关系的六种应用