根与系数关系

一元二次方程根与系数的关系也称韦达定理。

若一元二次方程ax*2+bx+c=0(a≠0)有两个实

数根ⅹ1，x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，

文字表达为：对于一个一元二次方程，两根之

和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所

得商的相反数；两根之积，等于常数项除以二

次项系数所得的商.

一元二次方程根与系数关系和判别式的综合应用

⑴ 不解方程，判断两个数是不是一元二次方程

的两个根；

⑵ 已知方程及方程的一个根，求另一个根及未

知数；

⑶ 不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1，x2的对称式的值.此时，常常涉及代数式的

一些重要变形.如：

①x1*2+x2*2=(x1+x2)*2-2x1x2；

②1/x1+1/ⅹ2=x1+ⅹ2/x1x2；

③ⅹ2/x1+x1/ⅹ2=ⅹ1*2+ⅹ2*2/x1ⅹ2

=(ⅹ1+x2)*2-2ⅹ1x2/x1x2；

④(x1-x2)*2=(x1+x2)*2-4x1x2；

⑤(x1+k)(x2+k)=x1x2+k(x1+x2)+k*2；

⑥Ⅰx1-x2l=√(x1-x2)*2=√(x1+x2)*2-4x1x2.

⑷判断两根的符号；

⑸已知方程两根求作新方程；

⑹由给出的两根满足的条件，确定字母的取

值.这类问题比较综合，解题时除了利用根与

系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个

前提条件。

真题求解

关于x的一元二次方程x*2-(m-3)x-m*2=0.

⑴ 证明：方程总有两个不相等的实数根；

⑵ 设这个方程的两个实数根为x1，x2，且

|x1|=|x2|-2，求m的值及方程的根。

解题思路提示

⑴ 找出一元二次方程中的a，b及c，表示出b*2-4ac，然后判断出b*2-4ac大于0，即可得到原方程有两个不相等的实数根；

⑵ 利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，判断出两根之积小于0，得到两根异号，分两种情况考虑：若x1>0，x2<0，利用绝对值的代数意义化简已知的等式，将表示出的两根之和代入，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出方程，求出方程的解即可；若x1<0，x2>0，同理求出m的值及方程的解.

解题步骤

解:⑴一元二次方程x*2-(m-3)x-m*2=0，

∵a=1，b=-(m-3)=3-m，c=-m*2，

∴△=b*2-4ac=(3-m)*2-4×1×(-m*2)

=5(m-3/5)*2+36/5.

∴△>0，

则方程有两个不相等的实数根；

⑵ ∵x1·x2=c/a=-m2≤0，x1+x2=m-3

异号，

∴x1，ⅹ2异号，

又|x1|=|x2|-2即|x1|-|x2|=-2，

若x1>0，x2<0，上式化简得：

x1+x2=-2，

∴m-3=-2，即m=1，

方程化为x*2+2x-1=0，

解得:x1=-1+√2，x2=-1-√2，

若x1＜0，x2＞0，上式化简得:

-(x1+ⅹ2)=-2，

∴x1+x2=m-3=2，即m=5，

方程化为x*2-2x-25=0，

解得:x1=1-√26，x2=1+√26.

解题总结

一元二次方程根与系数的关系的应用非常广泛，上题就是利用韦达定理的典型习题，首先利用根的判别式得出无论m取任何值方程都有两个不相等的实数根，再根据韦达定理即可求解，当然做这类题型有些数学的基础知识，也是务必要掌握，如绝对值的概念，配方法的灵活运用等，因此，老师想说:数学的综合题，不是我们想象的那么难，只要我们在平时吃透课本知识，培养数学思想，积累方法，学习上遇到的困难都会迎刃而解。