初中几何的一种解题技巧——补形法

有些几何题，按原有图形很难求解，如果能根据图形的特点，将原图补成特殊图形，如特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形；特殊四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形.然后利用特殊图形的性质，使问题得到解决，下面举例加以说明.

【典例1】

已知：如下图，四边形ABCD中，∠DAB=60°，∠B=∠ADC=90°，CD=2，BC=11.求AC的长.

分析：在Rt△ABC中，因已有BC=11，欲求AC，只要求出AB即可.而在原有图形中无法直接求出AB，再次观察图形，发现∠B=90°，∠DAB=60°，故只要延长AD、BC相交于点E（如图1），就可以把原图形补成含30°角的直角三角形，在这个特殊三角形中求出AC容易多了.

也可以延长AB、DC相交于点F（如图2），也可以把原图形补成含30°角的直角三角形，同样，在这个特殊三角形中很容易求出AC.

结合勾股定理，最终可求得AC=14.

点评：若不规则的四边形中有一个内角为90°，一旦出现60°或30°或45°的特殊角，就可以考虑用补形法，将原图补成特殊的直角三角形，然后结合勾股定理等知识进行求解.

另外，本题除了补形法之外，还有其他解法，如在原图中过点C作CM∥AB交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N，然后利用勾股定理分别求出BN和AN的长，进而求得AC，这里不再详细说明.

【典例2】

已知：如下图，五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，那么，五边形ABCDE的面积是多少？

解析：因为∠A=∠B=120°，则∠A、∠B的补角均为60°，如下图，延长EA、CB相交于点F，则△ABF为等边三角形，进而可得四边形FCDE为菱形，所求四边形的面积等于菱形面积减去△ABF的面积.

最终可求得五边形ABCDE的面积是7√3.

【典例3】

如下图，六边形的六个内角都是120°，连续四边的长依次是1、3、3、2，求这个六边形的周长.

分析：由于这个六边形的内角均为120°，则其外角都为60°，因此，只要作出相邻内角的外角，就可得含有60°的特殊图形.

解法一：如下图，可将原六边形补成边长为8的等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得原六边形的另两边长分别是2和4，因此，原六边形的周长为15.

解法二：如下图，可将原六边形补成边长分别为4和5的平行四边形，根据平行四边形的性质，可求得原六边形的另两边长分别是2和4，因此，原六边形的周长为15.

解法三：如下图，可将原六边形补成边长分别为11/2和2√3的矩形，则此矩形的4个角都是含有30°、60°的直角三角形，由勾股定理可求得每个直角三角形的边，最终可得原六边形的另两边长分别是2和4，因此，原六边形的周长为15.

点评：本题抓住多边形每个角均为120°的特点，将多边形补成等边三角形、平行四边形、矩形，把已知与未知联系在一起，从而找到解题途径.另外，如果多边形的内角为60°或120°，则易将原图形补成一个等边三角形.

【典例4】

已知，如下图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D为AB的中点，过B作直线与CD垂直，交AC于点E. 求证：∠ADE=∠CDB.

分析：因为△ABC是等腰直角三角形，因此可将它补成一个正方形ABCF，欲证∠ADE=∠CDB，由于两角没有直接联系，考虑证这两个角都等于某个角，从而使问题得到解决.

证明：如下图，分别过点A、C作AB、BC的垂线，两线相交于F，延长BE交AF于G，则四边形ABCF是正方形.

∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2. 在△ABG和△BCD中，∠1=∠2，AB=BC，∠BAG=∠CBD，∴ △ABG≌△BCD ∴ ∠4=∠CDB，AG=BD=AD. 在△AGE和△ADE中，AG=AD，∠6=∠5，AE=AE

∴△AGE≌△ADE. ∴ ∠4=∠ADE，∴∠ADE=∠CDB.

点评：对于等腰直角三角形及含有45°角的三角形来说，根据解题的需要，经常可以将原图形补成正方形，以充分运用正方形、直角三角形的性质来解题.