不等式的解与解集有何区别

不等式的解与解集是两个既有联系又有区别的不同概念，两者的含义容易混淆，在学习中要注意加以比较．

一、不等式的解与方程的解含义相同

我们知道，能使方程成立的未知数的值叫做方程的解；能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．

可见，不等式的解与方程的解的含义是相同的．如果某个数是不等式的解，那么该不等式中的未知数用它的解代替时，所得不等式成立．

例如，已知x=1是不等式3x+2m<7的解，求m的取值范围．

解析：根据不等式的解，得不等式3x+2m<7中的未知数x用1替换时，所得不等式3×1+2m<7成立，解此不等式，得m<2.

二、不等式的解集与解之间的联系

不等式所有解的集合叫做不等式的解集．可见，不等式的解与解集是不同的两个概念，解是解集的一部分，解集包括所有的解．一般地，不等式的解集中包含着不等式的无数多个解．因此，对于不等式的解是什么要用解集表示，不能列举几个解进行说明．

例如，不等式2x+1<9的解应该用解集表示为x<4，不能说该不等式的解是x=3.9，3.8，3，2，0，-8等等．但可以说x=3.9，3.8，3，2，0，-8等等都是该不等式的解．

三、不等式的解集与方程的解之间的关系

不等式的解集一般表示为x<a（或x>a），我们把x=a叫做不等式解集的界点．例如不等式3-4x>15的解集是x<-3，其解集界点就是x=-3．

显然，对于不含等号的不等式，其解集的界点不是该不等式的解，因为当x=-3时，不等式的左边=3-4×（-3）=15=右边，这说明了x=-3是方程3-4x=15的解．

由此可见：不等式解集的界点是该不等式对应方程（将不等号换为等号）的解．

利用这个关系可以解决已知不等式解集求字母系数问题．例如：已知关于x的不等式（a-1）x+1<2x+a的解集是x<2，求a的值．

解析：由题意，x=2是方程（a-1）x+1=2x+a的解，

所以2（a-1）+1=2×2+a，解得a=5.

特别注意："已知x=m是不等式ax<b的解"和"已知不等式ax<b（或ax>b）的解集是x<m（或x>m）"是两种截然不同的题型．

练习：

（1）已知x=1是关于x的不等式a(x-1)-3x>2(a+1)x+1的解，求a的取值范围；

（2）已知关于x的不等式a(x-1)-3x>2(a+1)x+1的解集是x<1，求a的值．

答案：（1）a<-3；（2）a=-3．