本讲我们重点对平行的判定和性质运用中的稍难题作个整理.重点分2个版块,

1、学会寻找中间角;

2、认识平行线拐角模型.

接上一讲《七下第1讲 平行线判定&性质精析(1)———掌握几个诀窍》

1、学会寻找中间角

平行线的许多证明题,需要在判定定理与性质中不断切换。

由角等(互补),得平行,是判定.

由平行,得角等(互补),是性质.

而在证明时,我们时常需由结论倒推,找到其中关键的中间角.

例1:

如图,AD∥BC,∠A=∠C,试说明AB∥DC.

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型


分析:

要证AB∥DC,结合已知的∠A和∠C,可以借助∠CDE=∠A,或∠ABF=∠C来证,以∠CDE为例,它就是一个关键的中间角,不仅与∠A是同位角,与∠C也是内错角,位置特殊,非常重要.

解答:

∵AD∥BC (已知)

∴∠C=∠CDE(两直线平行,内错角相等)

又∵∠A=∠C (已知)

∴∠A=∠CDE(等量代换)

∴AB∥DC(同位角相等,两直线平行)

变式:

如图,∠1=∠2,∠A=∠C.试说明∠E=∠F.

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型


分析:

本题同样要关注中间角,∠1=∠2的条件不能继续得到结论,就得找中间角.显然,找它们的对顶角,如∠1的对顶角就是∠2的同位角,接着可以证AB∥CD,而要将平行的条件与∠A=∠C结合起来,又要再找一个中间角,结合例1,易知可找∠ABF或∠CDE.

解答:

如下图,

∵∠1=∠3(对顶角相等)

又∵∠2=∠3(已知)

∴∠1=∠3(等量代换)

∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)

∴∠A=∠4(两直线平行,同位角相等)

又∵∠A=∠C(已知)

∴∠C=∠4(等量代换)

∴AE∥FC(内错角相等,两直线平行)

∴∠E=∠F(两直线平行,内错角相等)

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型


例2:

如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,你能判断∠ACB与∠AED的大小关系吗?说明理由.

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型


分析:

本题同样也要找中间角,∠1+∠2=180°的条件不能直接用,不难发现∠1的邻补角和∠2是内错角,这就是关键的中间角,推出∠DFE与∠2相等后,可证AB∥EF,此时结合∠B=∠3的条件,可发现,∠ADE是关键角.

解答:

∵∠1+∠2=180°(已知)

∠1+∠DFE=180°(邻补角定义)

∴∠2=∠DFE(同角的补角相等)

∴BD∥FE(内错角相等,两直线平行)

∴∠3=∠ADE(两直线平行,内错角相等)

∵∠3=∠B(已知)

∴∠B=∠ADE(等量代换)

∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)

∴∠AED=∠ACB (两直线平行,同位角相等)

2、认识平行线拐角模型

初中几何证明中,模型教学还是非常必要的,尤其在一些填空选择中,记住模型结论,往往事半功倍,这一讲,我们就来认识初中阶段几何上的第一个模型,平行线拐角模型.

模型1,2:

如图,AB∥CD,探究∠B,∠D与∠BED之间的关系.

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型


分析:

显然本题不添加辅助线是无法解决的,因此,从这个模型开始,我们要接触初中阶段几何的第一种辅助线,由于∠B和∠D在被截直线内侧,我们要把∠B和∠D进行转化,可以通过内错角或同旁内角,而此时想到过点E作平行,就可以同时构造出∠B和∠D的内错角.

解答:

过点E作EF∥AB.

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型


图1 图2

如图1,

∴∠B=∠1,

∵AB∥CD,

∴EF∥CD,

∴∠2=∠D,

∴∠B+∠D=∠1+∠2,

即∠B+∠D=∠BED.

如图2,

∴∠B+∠1=180°,

∵AB∥CD,

∴EF∥CD,

∴∠2+∠D=180°,

∴∠B+∠1+∠2+∠D=360°,

∠B+∠D+∠BED=360°

模型3,4:

如图,AB∥CD,探究∠B,∠D与∠BED之间的关系.

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型


分析:

显然,图形位置虽变,但添加辅助线的方法是不变的.

解答:

过点E作EF∥AB.

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型


图3 图4

如图3,过点E作EF∥AB.

∴∠B=∠BEF,

∵AB∥CD,

∴EF∥CD,

∴∠D=∠1,

∴∠BED=∠BEF-∠1

即∠BED=∠B-∠D

如图4,过点E作EF∥AB.

∴∠B=∠1,

∵AB∥CD,

∴EF∥CD,

∴∠D=∠BEF,

∴∠BED=∠BEF-∠1

即∠BED=∠D-∠B

例3:

已知AB∥CD,∠1=55°,∠C =100°,则∠A= ______°

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型


分析:

显然,本题蕴含了模型2,求出∠1的补角,∠AEC的度数,利用模型2的结论,即可口算.

解答:

由题意得,∠AEC=125°,∠A+∠AEC+∠C=360°,∴∠A=360°-125°-100°=135°

例4:

如图1,已知AB∥CD,∠E=80°,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,则∠BFD= ______°

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型


分析:

本题其实蕴含了2个模型,模型1和模型2,我们可以分别找出∠ABF,∠CDF与∠BFD的关系,∠E,∠ABE,∠CDE的关系,进而可以利用整体思想来解决.

解答:

作EG∥AB,FH∥AB,

∵AB∥CD,

∴EG∥AB∥FH∥CD,

∴∠ABF=∠BFH,∠CDF=∠DFH,

∠ABE+∠BEG=180°,∠GED+∠CDE=180°,

∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°

∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°,

∴∠ABE+∠CDE=280°,

∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E

∴∠ABF+∠CDF=140°,

∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型


本讲思考题

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型

[初中数学] 平行线判定&性质精析(2)——挖掘中间角与基本模型