[初中数学]一道压轴题叠加、拆解与转换

题目

（注：第一问略）

第二问

压轴题的分析应从图入手，重新解构原图，确定何为“定”？何为“动”？明确“动点”之间的从属关系.

“定”指的是根据条件，图形中已经确定形状、大小的部分。就本题而言，∠MBN已“定”（余弦值0.6），△ABC已“定”（三边分别是15、20、25的直角三角形）

“动”一般指的是图形中的动点，据第2问题意：“点E在线段BC上”，于是：

① 如左图，由点E可确定射线EA，射线EA交射线BM于点D，从而确定点D；

② 如右图，由点E可确定∠FAE（余弦值0.6）的位置，即点F的位置。

对于这两个图，稍加分析可得到以下结论：

（1）点E是主动点，点E的运动引发了点D与点F的运动，所以点D与点F均可认为是关于点E的被动点；

（2）左图有线段BD（变量：y），右图有线段BF（变量“x”），它们都由线段BE的长度决定！

所以本问的策略就是“分而治之”！

设BE=a

左图：

右图：

将上述两个式子连列构成方程组，化简后即可得y与x之间的函数关系式：

反思

坦率而言，将两图“分而治之”，每个图中变量之间的关系较原题清晰很多，也可谓“常规”问题。然而显然命题者不满足于“常规”，有意将两组图形“叠合”，让学生直接探寻变量x、y之间的关系，其难度实际已达“1+1>2”。

所以，面对这种比较繁琐的图形关系问题，从分析“定”“动”入手，确定动点之间的从属关系，反向“拆解”，分而治之是一种有效化繁为简的策略！

第三问

如果说对于第二问，解决的策略是图形分解，分而治之，那么对于第三问，解决的策略则是问题分解，逐次解决！

（显然当点E在线段BC上时，不可能“相似”，所以点E应该在BC的延长线上）

1.相似讨论

相似讨论从确定等角入手，就本题而言，

因为∠EAF=∠ACB，所以∠DAF=∠ACE

∠FDA=∠AEC→等腰

∠FDE=∠CAE→平行

2-1 ∠FDA=∠AEC

关键 等角转换：

由“四点共圆”或“证明相似”

可知∠FDE=∠ABE(=∠AEB)→红角

后续

① 红角+黄角=90°

→∠FAE+∠AEF=90°

→AF⊥BC→BF=16

② BF=DF=EF=16，BE=32

③ △BDE为直角三角形

④ BD=32×(3/5)=96/5

2-2 ∠FDE=∠CAE

关键 等角转换：∠ACB=∠DFB（平行）=∠DBF

→△DBF为等腰三角形（DB=DF）

→三边比为5:5:6

后续

（选择一种策略叙述）

① 可求得三边比为5:5:6的等腰△DBF顶角正切值为：tan∠BDF=24/7

② 由“四点共圆”或“证明相似”

可知∠BDF=∠BAF

③ 由此可以发现△ABF可解

（已知两角一边）

设：AH=7k、BH=32k，FH=24k

则 AH+BH=39k=20，k=20/39

DB=(100/3)k=2000/117

反思

就算由相似讨论推及等角，也只是这道第3问万里长征第一步，然而万变不离其宗，本题的关键仍在于发现等角转换过程中产生的特殊图形（每个讨论支代表以DF为腰的等腰△DBF的一种情况！）

值得注意的是在两种情况等角转换过程中，懂得“四点共圆”的同学都会占有一定优势，这一方面说明数学无国界，有时多掌握一些数学知识可以提升对于数学问题的认识，但另一方面，对于没有学过“四点共圆”的学生是否有些失“公允”呢？

后记

1.本题将平时常规图形进行叠合，衍生出新的组合图形；2.本题将等角转换演绎极致，想来课堂讲来定百转千回、荡气回肠；3.本题所蕴含的数学中“化繁为简”、“组合拆解”、“有序思考”等多种思想与策略，回味无穷。