帮你学好因式分解(二)——分解需八戒


初学因式分解时,以下“八戒”希望大家引以为诫.

一戒意义不清晰

例1 下列从左边到右边的变形中,哪些是因式分解?

(1)x^2+3x+2=xx+3)+2;(2)x^2+1=x(x+1/x);(3)(x+3)(x-3)=x^2-9;(4)x^2-2x+1=(x-1)^2;(5)x^2+2x+4=(x+2)^2.

解析:因式分解是一种特殊的变形,但变形者却不一定是因式分解,只有是把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形才是因式分解.这里要特别注意三点:一是积的形式,二是积的因式必须是整式,三是必须确保变形后的式子与原式相等.只有具备这三点的变形才是因式分解.象(1)和(3)都不是积的形式,虽然(1)有点积的样子,但最终还是和的形式;(2)、(4)、(5)虽然都是积的形式,但(2)中的因式(x+1/x)显然不是整式,(5)虽然是整式的积,但左右两边不相等.因此,是因式分解的只有(4).

二戒全提用减去

例2 分解因式:a^2b-2ab^2ab

解析:各项有公因式ab,提取后另一个因式必须用原多项式a^2b-2ab^2ab除以公因式ab所得,特别注意最后一项ab提取公因式ab后是1而不是0.即原式=aba-2b+1).切忌写成:原式=ab(a-2b)。

三戒回头做计算

例3 分解因式:axyab)+bxyab).

解析:提取公因式xyab),得原式=xyab)(ab),此时已是完美无缺,切忌因为(ab)(ab)难得能用可爱的平方差公式再回头做乘法计算,又把原式变形为:xy(a^2-b^2).

四戒提取不彻底

例4 分解因式:4a^2b^2-12a^3b.

解析:提取公因式要求把所有的公因式必须全部提取,不能只提取一部分,特别是系数的公约数.在本题中,公因式是4a^2b,提取后为:原式=4a^2bb-3a).

五戒因式不整理

例5 分解因式:3(x-2y)^2-(xy)(x-2y).

解析:提取公因式(x-2y)后得原式=(x-2y)[3(x-2y)-(xy)],此时另一个因式显然很不雅观,应把它作进一步整理为:(3x-6yxy)=(2x-7y),如此不仅美观,而且有时还可以发现有新的公因式.因此,原式=(x-2y)[3(x-2y)-(xy)]=(x-2y)(2x-7y).

六戒以积替代幂

例6 分解因式:(mn)m^2+(nm)n^2.

解析:原式=(mn)m^2-(m-n)n^2

=(mn)(m^2-n^2)=(mn)(mn)(mn),此时相同的因式相乘(mn)(mn),应写成平方的形式(m-n)^2,即最后结果应写成(mn)(m-n)^2.

七戒变形不恒等

例7 分解因式:y^2y+1/4.

解析:因式分解是一种恒等变形,恒等变形的手段是绝不能采用去分母的,切忌采用去分母错解为:原式=4y^2+4y+1=(2y+1)^2.正确的解法有二:

(一):原式=(y+1/2)^2

(二):原式=1/4·(4y^2+4y+1)

=1/4·(2y+1)^2.;

八戒分解不完整

例8 分解因式:(3a-2b)^2-(a-4b)2.

解析:运用平方差公式分解,得原式=(3a-2ba-4b)(3a-2ba+4b)=(4a-6b)(2a+2b).此时所得的两个因式务必再观察能否继续分解?显然每个因式中的各项还有公因数可提取,因此,应再进一步分解,得原式=(4a-6b)(2a+2b)=2(2a-3b)·2(ab)=4(2a-3b)(ab).

上述“八戒”连起来恰好是如下口诀:

一戒意义不清晰;二戒全提用减去;

三戒回头做计算;四戒提取不彻底;

五戒因式不整理;六戒以积替代幂;

七戒变形不恒等;八戒分解不完整。

帮你学好因式分解(二)——分解需八戒