一、三角形内外角平分线夹角模型

模型呈现:

如图,已知,在△ABC中,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,CH平分∠ACI,BG平分∠EBC,CG平分∠BCF.试探究∠BDC,∠BHC,∠BGC与∠A的关系.

[初中数学]三角形内外角平分线夹角模型及有关问题

分析:

这是本章的最后一个重要模型,要结合整体思想,外角定理综合运用.

解答:

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补充结论:

其实这个模型中,还能有许多发现,比如,

∠GBD=90°,∠DCH=90°,

理由是邻补角的角平分线互相垂直.

∠BGC和∠BHC互余,∠BGC和∠BDC互补,

在△DCH中,∠BDC作为外角,∠BDC=90°+∠BHC.

例1:

如图,O是三角形三条角平分线的交点,∠1=15°,则∠2=_____°.

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分析:

本题的关键是,发现∠2的作用,∠2可以作为△AOB的外角,即∠OAB和∠OBA的和,又是∠AOB的邻补角,∠AOB是三角形两内角平分线的夹角,因此本题既可以用一步一步完成,也可用结论模型口算.

解答:

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例2:

如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上,BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN,BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ,则∠F=_______.

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分析:

本题是一道将三个模型结合在一起的题目,我们要关注哪些角可以求,∠BDC是两内角平分线的夹角,则知道∠A即可求,∠E是两外角,∠MBC,∠NCB的角平分线的夹角,则知道∠BDC即可求,∠F是△EBC的内角∠EBC和外角∠ECQ的角平分线夹角,则知道∠E即可求.

解答:

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例3:

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分析:

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解答:

综上所述,结论正确的是①②③⑤共4个.

二、多边形内外角计算

例1:

一个学生计算多边形的内角和,少算了一个内角,得到答案是1400°,求少算的内角的度数及多边形边数.

分析:

显然,根据多边形内角和公式(n-2)·180°,可知内角和一定是180度的倍数,我们可以用1400除以180,算出其余数,那么自然可得,少算的那个内角与余数的和一定是180度的倍数,而根据多边形每个内角必然小于180°,则这个内角度数就是用180°减去这个余数即可.

解答:

1400°÷180°=7······140°,

180°–140°=40°,

设多边形边数为n,

(n–2)·180=1400+40,

n=10

答:少算的内角度数为40°,边数为10.

例2:

一个学生计算多边形的内角和,多算了一个外角,得到答案是1400°,求多算的外角的度数及多边形边数.

分析:

显然,本题是上一题的变式,方法还是用1400除以180,算出其余数,那么多算的外角度数,就是这个余数.

解答:

1400°÷180°=7······140°,

设多边形边数为n,

(n–2)·180=1400-140,

n=9

答:多算的外角度数为140°,边数为9.

例3:

一个多边形每个内角都等于150°,求这个多边形的边数.

分析:

本题不难,但我们要学会多种思路解题,可以从多边形内角和公式入手,也可以逆向思维,求出每个外角的度数,用外角和除以每个外角的度数.

解答:

法1:

设多边形边数为n,

(n–2)·180=150n,

n=12

法2:

180°-150°=30°,

360°÷30°=12

答:多边形边数为12.

三、作图探究

例:

在△ABC中,∠ACB=90°,BD是△ABC的角平分线,P是射线AC上任意一点(不与A、D、C三点重合),过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,交直线BD于E.

(1)探索∠PDE与∠PED的关系,画出图形并说明理由.

(2)作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F,则PF与BD有怎样的位置关系?画出图形并说明理由.

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分析:

本题中,点P的位置不确定,在射线AC上,就有多种可能,线段AD上,线段DC上,线段DC延长线上,在延长线上时,又要考虑垂足Q的位置,可能在线段AB上,也可能在线段AB的延长线上.因此,分四种情况讨论.碍于篇幅,我们将两小题的图汇总在一起.

解答:

①点P在线段AD上

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(1)∵PQ⊥AB,∴∠EQB=∠C=90°,

∴∠PED+∠EBQ=90°,∠CBD+∠CDB=90°,

∵∠PDE=∠CDB,∴∠CBD+∠PDE=90°,

∵BD为∠ABC的平分线,∴∠CBD=∠EBQ,

∴∠PDE=∠PED;

(2)在四边形PQBC中,

∠CPQ+∠CBA=360°-2×90°=180°

∵PF平分∠CPQ,BD平分∠CBA

∴∠1+∠2=90°

∵∠1+∠3=90°

∴∠2=∠3,PF∥BD

②点P在线段DC上

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(1)∵PQ⊥AB,∴∠EQB=∠C=90°,

∴∠BEQ+∠EBQ=90°,∠CBD+∠PDE=90°,

∵∠PED=∠BEQ,∴∠PED +∠EBQ=90°,

∵BD为∠ABC的平分线,∴∠CBD=∠EBQ,

∴∠PDE=∠PED;

(2)在四边形PQBC中,

∠CPQ+∠CBA=360°-2×90°=180°

∵PF平分∠CPQ,BD平分∠CBA

∴∠1+∠2=90°

∵∠1+∠3=90°

∴∠2=∠3,PF∥BD

③点P在线段DC延长线上,点Q在线段AB上

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(1)∵PQ⊥AB,∴∠EQB=∠ACB=90°,

∴∠BEQ+∠EBQ=90°,∠CBD+∠PDE=90°,

∵∠PED=∠BEQ,∴∠PED +∠EBQ=90°,

∵BD为∠ABC的平分线,∴∠CBD=∠EBQ,

∴∠PDE=∠PED;

(2)∵∠CPQ+∠A=90°

∠CBA+∠A=90°

∴∠CPQ=∠CBA

∵PF平分∠CPQ,BD平分∠CBA

∴∠1=∠2

∵∠1+∠3=90°

∴∠2+∠3=90°,PF⊥BD

④点P在线段DC延长线上,点Q在线段AB延长线上

[初中数学]三角形内外角平分线夹角模型及有关问题

(1)∵PQ⊥AB,∴∠EQB=∠ACB=90°,

∴∠PED+∠EBQ=90°,∠CBD+∠PDE=90°,

∵∠ABD=∠EBQ,∴∠PED +∠ABD=90°,

∵BD为∠ABC的平分线,∴∠CBD=∠ABD,

∴∠PDE=∠PED;

(2)∵∠CPQ+∠A=90°

∠CBA+∠A=90°

∴∠CPQ=∠CBA

∵PF平分∠CPQ,BD平分∠CBA

∴∠1=∠2

∵∠1+∠3=90°

∴∠2+∠3=90°,PF⊥BD

上讲思考题答案

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