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一.等腰三角形

1.等腰三角形的定义

有两边相等的三角行是等腰三角形、相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角时做底角,顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形,

特别注意:

(1)等腰三角形是特殊的三角形,它具备三角形所有的性质,如内角和是180°,两边之和大子第三边等。

(2)等腰三角形是轴对称图形。

2.等腰三角形的性质

(1).等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

(2).等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成”三线合一”)

特别注意:

(1)“等边对等角”只有在同一个三角形中才能应用,若相等的线段不是同一个三角形的边,则不能应用该性质;

(2)运用“等边对等角”可以由顶角求底角,或由底角求顶角,也是证明角相等的常用方法。

3.等腰三角形的判定

(1)定义法:有两条边相等的三角形是等腰三角形。

(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)

这时在△ABC中的已知条件是“∠B=∠C”,结论是“AB=AC”,证明的方法同样有三种,即三种添加辅助线的方法,请读者自己证明.由此可见:

性质定理

等腰三角形﹤======﹥两角相等

判定定理

二者的题设与结论正好相反

例题应用:

例1.如图,点D,E在△ABC的边BC上AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.

等腰和等边三角形的性质和判定

【解析 】 在解决有关等腰三角形的问题时,一般可以作三种辅助线:作等腰三角形顶角的平分线或底边上的高或底边上的中线,从而可以运用“三线合一”

证明 如图,过点A作AF⊥BC,垂足为点F.

∵AB=AC,AD=AE,

∴AF为△ABC和△ADE的中线,

∴BF=CF,DF=EF.

∴BF-DF=CF-EF,即BD=CE.

【小结】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高均为等腰三角形的对称轴。

二.等边三角形

1. 等边三角形的定义

等边三角形是三边都相等的三角形,也叫正三角形。

根据定义,等边三角形的三条边都相等,则任意两条边都相等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形。

2. 等边三角形的性质

(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°

(2)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,三条对称轴交于一,该点称为“中心”。(3)等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质。

(4)等边三角形外心、内心、重心、垂心四心合一。

3. 等边三角形的判定

(1)定义法:三条边都相等的三角形是等边三角形。

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形。(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

4. 含30°角的直角三角形的性质和判定

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°.

如图,在Rt△ABC中,∠B=30°,则AC=½AB.

等腰和等边三角形的性质和判定

例题应用:

等腰和等边三角形的性质和判定

【解析】此类题考查了30°直角三角形的性质,矩形的判定与性质,线段的垂直平分线的判定与性质的综合应用,解这样综合性比较强的题,有助益提高学生分析问题,解决问题的能力,是比较难的题.

1、本题是一道30°的直角三角形的性质,矩形的判定与性质,线段的垂直平分线的判定与性质的综合题,解题的关键是灵活应用;

2、证明四边形AEDF为矩形,得到DE=AF,根据直角三角形的性质得到DE等于BD的一半,即可得到DE等于AC的一半;

过点D作DE垂直AB,DF垂直于AC

等腰和等边三角形的性质和判定

等腰和等边三角形的性质和判定