一次函数与二次函数的实际应用题，“利润最大化”的题目值得关注

例题1.

2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：

（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；

（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？

解：（1）由题意得：

y1=（120﹣a）x（1≤x≤125，x为正整数），

y2=100x﹣0.5x2（1≤x≤120，x为正整数）；

（2）①∵40＜a＜100，∴120﹣a＞0，

即y1随x的增大而增大，

∴当x=125时，y1最大值=（120﹣a）×125=15000﹣125a（万元）

②y2=﹣0.5（x﹣100）2+5000，

∵a=﹣0.5＜0，

∴x=100时，y2最大值=5000（万元）；

（3）∵由15000﹣125a＞5000，

∴a＜80，

∴当40＜a＜80时，选择方案一；

由15000﹣125a=5000，得a=80，

∴当a=80时，选择方案一或方案二均可；

由15000﹣125a＜5000，得a＞80，

∴当80＜a＜100时，选择方案二．

考点分析：

二次函数的应用．

题干分析：

（1）根据题意直接得出y1与y2与x的函数关系式即可；

（2）根据a的取值范围可知y1随x的增大而增大，可求出y1的最大值．又因为﹣0.5＜0，可求出y2的最大值；

（3）第三问要分两种情况决定选择方案一还是方案二．当2000﹣200a＞500以及2000﹣200a＜500．

解题反思：

此题属于一次函数和二次函数的综合的应用题，考查数列模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的构建是确定数列模型．