乘方运算是我们学习了加减乘除运算后的第五种运算,乘方运算的结果称为“幂”,因此,乘方运算也称为幂的运算。在初中数学教材《幂的运算》一章的学习过程中,学生感觉困难重重,主要原因有两点:一是对幂的内涵理解不够,导致计算方法(公式)棍淆;二是思路不明确,无从下手.本文将通过对运算法则的归类揭示乘方运算的内涵,从而得出解题的策略.

一、幂的运算公式及应用

幂的运算公式如下表:

《幂的运算》解题策略


通过上表可以看出,两个幂的运算公式满足下列三条规律(记住这三条规律,可以避免公式混淆):

1.越低级的运算,对幂的要求越高

幕的加减运算(一级运算),要求两个幂的底数和指数都相同;幂的乘除运算,要求两个幂的底数和底数中有一项相同;幂的乘方运算则没有要求.

2.幂的运算过程中,两个幂的相同部分不变

幂的加减运算中,底数和指数都不变,系数相加减(即:合并同类项).幂的乘除运算中,底数相同,则底数不变;指数相同,则指数不变. 幂的乘方运算中,底数不变二-

3.底数之间的运算,用原运算符号,指数之间的运算,用原运算符号的降级运算符号(各运算之间的降级关系如下表)

《幂的运算》解题策略


幂的加法(或减法)运算中,系数处于低层,仍用原运算——加法(或减法)运算.幂的乘法(或除法)运算中,若指数根同,则指数不变,底数仍用原运算——乘法(或除法)运算;若底数相同,则底数不变,指数处于上层,则按下表中的降级规律,用对应的加法(或减法)运算.幂的乘方运算,底数不变,指数降级为乘法运算.

疑问:在幂的运算过程中,两个幂不符合上述运算特征怎么办?

这是学生在学习幂的运算过程中遇到的最常见的困难,解决的方法是“转化”。通过转化两个幂的底数或指数,从而使两个幂达到符合相应运算的条件.具体转化方法如下:

1.化为底数相同

如果两个幂的底数可以化成同一个数的幂的形式,那么这两个幂就可以用幂的乘方公式,把它们化作同底数幂.

《幂的运算》解题策略


二、求有关幂的等式中未知数的方法

当两个相等的幂的底数相等时,它们的指数也相等,如已知a²=aⁿ,则n=2;当两个相等的幂的指数相等时,它们的底数也相等,如已知3ⁿ=xⁿ,则x=3.当两个相等的幂的底数和指数都不相同时,则无法直接转化为整式方程求未知数的值,此时需要转化两个幂的底数或指数,使它们相同.当等式两边有多个幂时,需要依据运算符号进行运算,先转化成只有两个幂的等式再进行求解.

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分析 因等式两边有三个幂,且字母m在指数上,故需要先计算出等号左边的积,使等号两边各保留一个幂,然后再化底数相等,最后用指数相等列等式.

三、比较幂的大小的方法.

当两个幂的底数相同时,通过比较他们的指数可以判断它们的大小.

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小结 在学习《幂的运算》这一章节内容时,记住公式是解题的基础,熟练掌握转化底数和指数的方法是解题的关键.分析题目中幂的运算所需要的条件,可以明确解题思路;观察幂的底数和指数的特点,可以明确解题的具体过程.

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