考题通常有两种设计方式:

一是证明某个不等式恒成立,

二是已知某个不等式恒成立,求其中的参数的值或取值范围。

解决这类问题的关键是转化,通过等价转化能使问题起到“柳暗花明”的功效。而等价转化过程往往渗透着换元、化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法,其常用方法主要有:更换主元法、分离参数法、数形结合法、最值法等,笔者试图通过本文能对学生突破这一难点有所启迪。

一、更换主元法

在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数。利用函数的图象和性质解决问题,同时注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加明朗化。一般地,已知存在范围的量为变量,而待求范围的量为参数。

高考数学一个热门题型,恒成立问题与参数的取值范围问题联系

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二、分离参数法

当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其它变量完全分离出来,且分离后不等式另一边的函数(或代数式)的最值可求时,常用分离参数法。

高考数学一个热门题型,恒成立问题与参数的取值范围问题联系

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三、数形结合法

如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时,可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围。

高考数学一个热门题型,恒成立问题与参数的取值范围问题联系

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四、最值法

当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时,可直接求出这个最值(最值可能含有参数),然后建立关于参数的不等式求解。

高考数学一个热门题型,恒成立问题与参数的取值范围问题联系

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注:恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起,是近几年高考的一个热门题型,它以“参数处理”为主要特征,以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关,所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来,通过函数最值求解相关问题。

不等式恒成立问题,因题目涉及知识面广,解题方法灵活多样,技巧性强,难度大等特点,要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力。上述方法是比较常用的,但因为问题形式千变万化,考题亦常考常新。因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学,在平时的训练中不断领悟和总结,教师也要介入心理辅导和思想方法指导,从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高。