引例:

下题是补形法最简单的应用:

如图所示,在边长为6厘米的正方形内有一个三角形BEF,线段AE=3厘米,DF=2厘米。求三角形BEF的面积。

补形法求不规则图形的面积

题图

解析:

图中三角形BEF为形状未知,所有边长未知,所有高未知。所以,尽管三角形是规则图形,我们还是把它当作不规则图形去求面积。用补形法。

这里不需要作图,因为需要补的图形都是现成的。

图形处理:

如下图做标记。

很明显,正方形ABCD的面积=①+②+③+S,在这个等式中,正方形的面积和①、②、③所标示的三角形面积均可求,所以,我们可以通过移项,用这些可求的面积去表示阴影部分的面积S:

S=正方形ABCD的面积-①-②-③

补形法求不规则图形的面积

标示处理后的图形

补形法的应用举例:

如图所示,长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米,阴影部分的总面积是10平方厘米。求四边形ABCD的面积。

补形法求不规则图形的面积

题图

解析:

如下对图形进行标示处理。

补形法求不规则图形的面积

标示处理后的图形

因为四边形ABCD是个不规则四边形,所有边长未知,所有角度未知,所以直接求面积是不可能的。

在标示后的图形中,我们可以用三角形AFG的面积(①+②+③+S的和),减去①、②、③的和,即可的四边形ABCD的面积S的值。

上图中,三角形CEF的面积+三角形CGH-阴影部分的总面积,即可得到①+②的值,而③的值等于三角形AFG的一半,也等于长方形EFGH的四分之一,很容易求出。进而,S可求。

S=三角形AFG的面积-(①+②)-③

=6×4÷2-(6×4 ÷2-10)-6×4÷2 ÷2

=12-2-6

=4(平方厘米)

问题得解。

结束语

数学中的思想方法本身往往很简单,但在实际使用中却很灵活,有时因为使用环境被过度包装,甚至看不出来题目的本质,需要进行等价转化后才能露出本来面目。我们在实践中要善于进行等价转化,使问题符合既有模型,进而求解。