例3，已知：C是以AB为直径的半圆0上的一点，CD⊥AB垂足是D，E是AD上的一点，连结AC、CE，DF⊥CE垂足是G，DF、AB相交于F，

求证： AF/CF=ED/BD

分析1：本题要证明的结论是AF/CF=ED/BD这是线段之间的比例关系，所以，首先应进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，

经过描图，可以发现AF、CF和ED、BD这两组相比线段分别重叠在一直线上，所以可添加平行线型相似三角形进行证明，

由于现在出现的重叠在一直线上的相比线段有两组，所以选取从哪一组相比线段出发进行讨论，就出现了两种可能性，

若选取从AF、CF这一组相比线段进行讨论，则添加的方法是过端点或内分点作平行线，

于是，首先要选取平行方向线段，由于现在出现的端点是A、C，内分点是F，所以图形中过端点A的线段是AE，过内分点F的线段是FD，过另一个端点C的线段是CD和CE，共有四种可能性，所以可分别进行讨论，

若取AE为平行方向线段，由于平行方向线段过端点A，所以平行线可以过内分点F作，也可以过另一个端点C作，

如首先选取过内分点F作平行线，则过F作FH∥AE交CE于H，

就可得AF/CF=EH/CH，

这样，问题就转化为要证EH/CH=ED/BD，

这是一个新的比例关系，那么首先也进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，

经过描图，可以发现EH、CH和ED、BD这两组相比线段分别重叠在一直线上，所以可添加平行线型相似三角形进行证明，

又因为这两组重叠的相比线段有一个公共端点E，所以添加平行线型相似三角形的方法就是将端点和端点、内分点和内分点分别连结，这两条连线一定平行，

于是，连结DH、BC，问题就成为要证DH∥BC，

由条件AB是半圆0的直径，所以想到要应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明，于是由C是半圆上的一点，可得∠ACB=90°，AC⊥BC，

这样问题又转化为要证DH也与AC垂直，

于是，就要根据垂线的定义进行证明，也就是它们应相交成90°角，而现在DH、AC还没有相交，所以应将它们延长到相交，

也就是延长DH交AC于I，应证DI⊥AC，也就是DI应是△CDF的一条高，而已知CG是△CDF的一条高，所以它们的交点H就应是△CDF的垂心，也就是要证明DH与AC垂直，就成为要证H是△CDF的垂心，

根据三角形垂心的定义，它应该是三角形的两条高的交点，而DI这条高是要证明的结论，不能用，所以必须要用另外两条高，其中一条高CG已经给出，所以要找另一条CD边上的高，但这条高图形中尚未出现，所以应先将这条高添出，也就是延长FH交CD于J，

由条件CD⊥AB，而已经作出的是FH∥AE，

所以FJ⊥CD，FJ就是△CDF的一条高，H就是△CDF的垂心，DH∥BC就可以证明，分析也就可以完成。

分析2：若平行线过另一个端点C作，则应作到与过内分点F的直线相交，

于是，过C作CH∥BA交DF的延长线于H，

就可得△ADF∽△CHF， AF/CF=AD/CH，

这样问题就成为要证明AD/CH=ED/BD，

由条件AB是半圆0的直径，所以想到要应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明，现在图形中是有直径AB，有半圆上的点C，而没有圆周角，所以应先将半圆上的圆周角添上，

于是连结BC，就可得∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，

由于条件还给出CD⊥AB，出现了CD是直角△ABC的斜边上的高，所以想到要应用直角三角形斜边上的高或者也就是旋转型相似三角形的基本图形进行证明，

于是可得△ACD∽△CBD，CD^2=AD•BD，

而AD•BD就是要证明的性质AD/CH=ED/BD 的外项积，

所以，问题就成为要证明这个比例关系的内项积也等于CD^2，

也就是要证明CD/CH=ED/CD，

这是一个新的比例关系，于是首先也应该进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，

经过描图，可以发现它们两两组成三角形，也就是CD、ED可以组成△CED，CH、CD可以组成△HDC，

在这两个三角形中，已经有∠CDE=∠HCD=90°，

而由条件DF⊥CE，又可得CG是直角△HDC的斜边上的高，所以∠ECD=∠DHC，所以△CED∽△HDC，分析就可以完成。

分析3：若取FD为平行方向线段，由于平行方向线段过内分点F，所以平行线可以过端点A作，也可以过另一个端点C作，

如首先选取过端点A作平行线，则应作到和过另一个端点C的直线相交，

于是，过A作AH∥FD交CD的延长线于H，

就可得AF/CF=HD/CD，

这样，问题就转化为要证HD/CD=ED/BD，

这是一个新的比例关系，那么首先也进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，

经过描图，可以发现HD、CD和ED、BD这两组相比线段分别重叠在一直线上，所以可添加平行线型相似三角形进行证明，

又因为这两组重叠的相比线段在内分点D相交，所以添加平行线型相似三角形的方法就是将两组端点分别连结，这两条连线一定平行，

于是，连结EH、BC，

问题就成为要证HE∥BC，

由条件AB是半圆0的直径，所以想到要应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明，于是由C是半圆上的一点，可得∠ACB=90°，AC⊥BC，

这样问题又转化为要证HE也与AC垂直，

于是，就要根据垂线的定义进行证明，也就是它们应相交成90°角，而现在HE、AC还没有相交，所以应将它们延长到相交，

也就是延长HE交AC于I，应证HI⊥AC，也就是HI应是△ACH的一条高，而已知AD是△ACH的一条高，所以它们的交点E就应是△ACH的垂心，也就是要证明HI与AC垂直，就成为要证E是△ACH的垂心，

根据三角形垂心的定义，它应该是三角形的两条高的交点，而HI这条高是要证明的结论，不能用，所以必须要用另外两条高，其中一条高AD已经给出，所以要找另一条AH边上的高，但这条高图形中尚未出现，所以应先将这条高添出，也就是延长CE交AH于J，

由条件CE⊥DF，而已经作出的是AH∥FD，

所以CJ⊥AH，CJ就是△ACH的一条高，E就是△ACH的垂心，HI∥BC就可以证明，分析也就可以完成。

分析4：若选取过端点C作平行线，则应作到和过另一个端点A的直线相交，

于是，过C作CH∥FD交AB的延长线于H，

就可得AF/CF=AD/HD，

这样，问题就转化为要证AD/HD=ED/BD，

由条件AB是半圆0的直径，所以想到要应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明，现在图形中是有直径AB，有半圆上的点C，而没有圆周角，所以应先将半圆上的圆周角添上，

于是连结BC，就可得∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，

由于条件还给出CD⊥AB，出现了CD是直角△ABC的斜边上的高，所以想到要应用直角三角形斜边上的高或者也就是旋转型相似三角形的基本图形进行证明，

于是可得△ACD∽△CBD，CD^2=AD•BD，而AD•BD就是要证明的性质AD/HD=ED/BD的外项积，所以，问题就成为要证明这个比例关系的内项积也等于CD^2，也就是要证明CD^2=ED•HD，

由条件CE⊥DF，而已经作出的是CH∥FD，所以∠ECH=90°，从而又出现了CD也是直角△EHC的斜边上的高，所以又想到要应用直角三角形斜边上的高或者也就是旋转型相似三角形的基本图形进行证明，

于是又可得△ECD∽△CHD，CD^2=ED•HD，分析就可以完成。

分析5：若取CD为平行方向线段，由于平行方向线段过端点C，所以平行线可以过内分点F作，也可以过另一个端点A作，

如首先选取过内分点F作平行线，则应作到和过另一个端点A的直线相交，

于是，过F作FH∥CD交AD于H，

就可得AF/CF=AH/DH，

这样，问题就转化为要证AH/DH=ED/BD，由条件AB是半圆0的直径，所以想到要应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明，现在图形中是有直径AB，有半圆上的点C，而没有圆周角，所以应先将半圆上的圆周角添上，

于是连结BC，就可得∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，

由于条件还给出CD⊥AB，出现了CD是直角△ABC的斜边上的高，所以想到要应用直角三角形斜边上的高的基本图形的性质，可得∠BCD=∠CAB，

这样，要证明的性质中出现的AH、BD就分别是△AFH和△CBD的一条直角边，

而在这两个三角形中，由条件CD⊥AB和FH∥CD，可得∠AHF=∠CDB=90°，

所以△AFH∽△CBD， AH/CD=FH/BD，

比较要证明的性质AH/DH=ED/BD，

可知问题转化成要证FH/DH=ED/CD，

由条件DF⊥CE垂足是G，DG也是直角△CED的斜边上的高，所以应用直角三角形斜边上的高的基本图形的性质，可得∠EDG=∠ECD，

从而，再由∠FHD=∠EDC=90°，就可以证明△FDH∽△ECD，

所以FH/DH=ED/CD，分析就可以完成。

分析6：如选取过端点A作平行线，则应作到和过内分点F的直线相交，

于是，过A作AH∥DC交DF的延长线于H，

就可得AF/CF=AH/CD，

这样，问题就转化为要证AH/CD=ED/BD，

又因为条件给出CD⊥AB垂足是D，DF⊥CE垂足是G，DG就是直角△CED的斜边上的高，所以应用直角三角形斜边上的高的基本图形的性质，可得∠EDG=∠ECD，

又因为AH∥DC，所以∠HAD=∠EDC=90°，

就可推得△HDA∽△ECD， HA/AD=ED/DC，

问题就成为要证CD/AD=BD/DC，CD^2=AD•BD，

由条件AB是半圆0的直径，所以想到要应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明，现在图形中是有直径AB，有半圆上的点C，而没有圆周角，所以应先将半圆上的圆周角添上，

于是连结BC，就可得∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，

由于条件还给出CD⊥AB，出现了CD是直角△ABC的斜边上的高，所以想到要应用直角三角形斜边上的高或者也就是旋转型相似三角形的基本图形进行证明，

于是可得△ACD∽△CBD，就可以推得CD^2=AD•BD，分析就可以完成。

分析7：若取CE为平行方向线段，由于平行方向线段过端点C，所以平行线可以过另一个端点A作，并应作到和过内分点F的直线相交，

于是，过A作AH∥EC交DF的延长线于H，

就可得AF/CF=AH/CG，

这样，问题就转化为要证AH/CG=ED/BD，

而由AH∥EC，就出现了EG是△DAH内一条边AH的平行线，所以可应用由三角形内一条边的平行线得到的平行线型相似三角形的基本图形的性质进行证明，

也就可得AH/EG=AD/ED，AH=(AD•EG)/ED，

问题就成为要证(AD•EG)/ED＝(ED•CG)/BD，由于这个关系式中出现了ED^2，是直角三角形一条直角边的平方，

所以，由条件CD⊥AB垂足是D，DF⊥CE垂足是G，DG就是直角△CED的斜边上的高，所以可应用直角三角形斜边上的高也就是逆平行线型相似三角形的的基本图形的性质，可得△EDG∽△ECD，ED^2=EG•EC，

问题又转化为要证明EG•EC•CG＝AD•EG•BD，

就是要证明EC•CG＝AD•BD，

由于DG就是直角△CED的斜边上的高，所以再应用直角三角形斜边上的高也就是逆平行线型相似三角形的的基本图形的性质，可得△CDG∽△CED，CD^2=EC•CG，

所以问题转化为要证CD^2= AD•BD，

由条件AB是半圆0的直径，所以想到要应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明，现在图形中是有直径AB，有半圆上的点C，而没有圆周角，所以应先将半圆上的圆周角添上，

于是连结BC，就可得∠ACB=90°，△ABC是直角三角形，

由于条件还给出CD⊥AB，出现了CD是直角△ABC的斜边上的高，所以想到要应用直角三角形斜边上的高或者也就是旋转型相似三角形的基本图形进行证明，

于是可得△ACD∽△CBD，就可以推得CD^2=AD•BD，分析就可以完成。

分析8：本题的分析在对比例线段进行描图时，可以发现AF、CF这一组相比(相等)线段重叠在一直线上，且过两个端点A、C和内分点F的三直线AD、CD、FD共点于D，

从而可添加平行线型相似三角形的组合图形进行证明，添加的方法是将过端点和内分点的共点三直线与一组平行线相交，

由于现在图形中还没有平行线，所以应先将平行线添上，又因为现在图形中能够作AC的平行线而且与条件、结论有联系的的点就是点E，所以平行线

就应过点E作，

也就是过E作EH∥AC，分别交CD、FD于H、I，

从而就可得AF/CF=EI/HI，

这样，问题就转化为要证EI/HI=ED/BD，这是一个新的比例关系，那么首先也进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，

经过描图，可以发现EI、HI和ED、BD这两组相比线段分别重叠在一直线上，所以可添加平行线型相似三角形进行证明，又因为这两组重叠的相比线段有公共端点E，所以添加平行线型相似三角形的方法就是将端点和端点、内分点和内分点分别连结，这两条连线一定平行，

于是，连结BH，

问题就成为要证DI∥BH，

由条件CE⊥DF，所以问题就是要证BH也和CE垂直，

根据垂线的定义，它们应相交成90°角，而现在BH、CE还没有相交，所以应将它们延长到相交，

也就是延长BH交CE于J，应证BJ⊥CE，

由条件AB是半圆0的直径，所以想到要应用直径的性质，也就是半圆上的圆周角的基本图形的性质进行证明，现在图形中出现了C是半圆上的一点，而没有圆周角，所以应将圆周角添上，

也就是连结BC，可得∠ACB=90°，

这样要证BJ⊥CE，也就是BJ应是△CEB的一条高，而已知CD是△CEB的一条高，所以它们的交点H就应是△CEB的垂心，也就是要证明BJ与CE垂直，就成为要证H是△CEB的垂心，

根据三角形垂心的定义，它应该是三角形的两条高的交点，而BJ这条高是要证明的结论，不能用，所以必须要用另外两条高，其中一条高CD已经给出，所以要找另一条BC边上的高，但这条高图形中尚未出现，所以应先将这条高添出，也就是延长EH交BC于K，

由于已经作出的是EH∥AC，AC⊥BC，所以EK⊥BC，EK就是△CEB的一条高，H就是△CEB的垂心，BH∥DI就可以证明，分析也就可以完成。