米勒问题和米勒定理

1471年,德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么部位,视角最大?最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目,因为德国数学家米勒曾提出这类问题,因此最大视角问题又称之为“米勒问题”,一般的米勒问题如下:

米勒问题:已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点,点P是边OM上的动点,则当P在何处时,∠APB最大?

中考数学压轴常考难点模型“最大张角模型——米勒问题”


对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。

米勒定理:已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点,点P是边OM上的一个动点,则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时,∠APB最大。

中考数学压轴常考难点模型“最大张角模型——米勒问题”


证明:如图,设P′是边OM上不同于点P的任意一点,连结P′A,P′B,P′A与圆交于点C,连接CB,根据三角形外角的性质,可知∠ACB>∠AP′B,根据圆周角定理可知,∠APB=∠ACB,因此∠APB>∠AP′B,也就是当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时,∠APB最大。

在解题中的应用

最大张角问题在数学竞赛、历届中考和模拟考试中频频亮相,常常以平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型,并能直接运用米勒定理解题,这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度,从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展,即使解出也费时化力。下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。

中考数学压轴常考难点模型“最大张角模型——米勒问题”


中考数学压轴常考难点模型“最大张角模型——米勒问题”



中考数学压轴常考难点模型“最大张角模型——米勒问题”


中考数学压轴常考难点模型“最大张角模型——米勒问题”