中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用 “倍长中线法” 添加辅助线。

所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而利用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。

倍长中线法最重要的一点:延长中线一倍,完成 SAS 全等三角形模型的构造。

一、常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法

如图在 △ABC 中 , AD 是 BC 边上的中线:

八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法

图1

方法一、延长 AD 到 E ,使 DE = AD ,连接 BE :

八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法

图2

方法二、间接倍长:

① 如图 作 CF⊥AD 于点 F ,作 BE⊥AD 的延长线于点 E ,

八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法

图3

② 如图 延长 MD 到 N 使 DN = MD ,连接 CN ,

八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法

图4

二、典型例题

例题1、在 △ABC 中 ,AB = 5 , AC = 3 ,求中线 AD 的取值范围 。

思路:用方法一(利用三角形中三边关系确定中线范围)

例题2、已知在 △ABC 中,AB = AC , D 在 AB 上,E 在 AC 的延长线上,DE 交 BC 于点 F ,且 DF = EF ,

求证 : BD = CE

八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法

图5

证明: 过点 D 作 DG∥AC 交 BC 于点 G

八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法

图6

∵ DG∥AC ∴ ∠GDF = ∠E , ∠DGB = ∠ACB

∵ DF = EF , ∠DFG = ∠EFC

∴ △DFG ≌ △EFC ∴ DG = CE

∵ AB = AC ∴ ∠B = ∠ACB

∴ ∠B = ∠DGB ∴ BD = DG = CE

例题3、已知在 △ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BE = AC ,延长 BE 交 AC 于点 F ,

求证:AF = EF

八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法

图7

证明:延长 AD 到点 G 使 ED = DG ,连接 CG

八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法

图8

∵ BD = DC , ED = GD , ∠BDE = ∠CDG

∴ △BDE ≌ △CDG ∴ BE = CG ,∠BED = ∠G

∵ BE = AC ∴ AC = CG ∴ ∠G = ∠CAG

∵ ∠BED = ∠AEF ∴ ∠AEF = ∠FAE

∴ AF = EF

三、拓展提高(作业题)

例题4、如图,在 △ABC 中,AB ≠ AC ,D , E 在 BC 上,且 DE = EC , 过点 D 作 DF∥BA ,交 AE 于点 F ,DF = AC 。

求证: AE 平分 ∠BAC

八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法

图9