八年级数学最短路径问题课题学习

一、什么是最短路径问题？

关于“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”等的问题，

我们称它们为最短路径问题。

解决最短路径问题，通常利用作垂线段、轴对称等变换，把实际问题中的最短路径问题转化为简单的几何问题 。

例题1、如图所示，点 P 是直线 L 外一点，PC⊥L ，点 A , B , C , D 都在直线 L 上 ，下列线段中最短的是 （C）

A、PA B、PB C、PC D、PD

例题1图

例题2、如图所示，已知直线 L 是一条河 ，点 P 、 Q 是两个村庄。欲在 L 上的某处修建一个水泵站，向 P 、Q 两地供水，现有如下四中铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 （D）

例题2图

二、知识点演练

1、运用“垂线段最短”解决最短路径问题

例题3、如图 ，AD 是等边 △ABC 的边 BC 上的高 ，AD = 6 ，点 M 是 AD 上的动点，点 E 是 AC 边上的中点，则线段 EM + CM 的最小值是多少？

例题3图

答案：当 EM + CM = CF = AD = 6 时（此时 CF 为 AB 边上的高） ， EM + CM 取最小值 6 。

2、运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题

例题4、如图，已知 MN 是正方形 ABCD 的一条对称轴，点 P 是直线 MN 上的一个动点 ，当 PC + PD 最小时，求 ∠PCD 的度数 。

例题4图

答案：∠PCD = 45° （此时 △PCD 为等腰直角三角形）

例题5、如图，在 △ABC 中，AB = AC ，AD 平分 ∠CAB ，点 N 是 AB 上一定点，M 是 AD 上一动点 ，要使 MB + MN 最小，请回答点 M 应在什么位置？

例题5图

答案：连接 CN 交 AD 于点 M ，则交点 M 为所求点的位置 。

理由：

∵ 在 △ABC 中，AB = AC ，AD 平分 ∠CAB，

∴ AD 为线段 BC 的垂直平分线， ∴ MC = MB

∴ MB + MN = MC + MN = CM 。