例题5、(2018年包头市中考数学第25题)如图,在矩形 ABCD 中 , AB = 3 , BC = 5 , E 是 AD 上的一个动点 。

九年级数学相似图形压轴题解析一例(4)


① 如图 1 、连接 BD ,O 是对角线 BD 的中点 ,连接 OE 。当 OE = DE 时,求 AE 的长 ;

 如图 2 、连接 BE 、EC ,过点 E 作 EF⊥EC 交 AB 于点 F ,连接 CF ,与 BE 交于点 G 。

当 BE 平分 ∠ABC 时 ,求 BG 的长 ;

 如图 3 、连接 EC ,点 H 在 CD 上,将矩形 ABCD 沿直线 EH 折叠,折叠后点 D 落在 EC 上的点 D' 处,过点 D‘ 作 D‘N⊥AD 于 N ,与 EH 交于点 M ,且 AE = 1 。

(1)求 S△ED'M :S△EMN 的值 ;

(2)连接 BE ,△D'MH 与 △CBE 是否相似?请说明理由 。

解题思路:

 由△ABD 是直角三角形,O 是对角线 BD 的中点,可求出 OD = OB = OA ,在来证明 △ODE∽△ADO,即可求出 AE 的长;

 先来证明 △AEF≌△DCE ,进而求出 BF = 1 ,过点 G 作 GK⊥BC 于点 K ,易证 △CKG∽△CBF ,通过方程设未知数和相似三角形的对应线段成比例,进而求出 BK = GK = 5/6 , 在等腰直角△BKG 中,用勾股定理即可得出结论;

 (1)在 Rt△EDC 中,易求出 EC = 5 ,由 ED = ED' ,可求出 D'C = 1 ,根据勾股定理可求出 DH = 4/3,CH = 5/3 ,

再来证明 △EMN∽△EHD,则有 MN : HD = EM : EH ;△ED'M∽△ECH ,则有 D'M :CH = EM : EN ,

进而得出 D'M :MN = CH : HD = 5/4 , 即可得出结论 ;

(2)先证明 ∠MD'H = ∠NED'(都和∠ED'N互余),进而得出 ∠MD'H = ∠ECB ,即可得出 D'M /CB = D'H/CE ,

即可证明 △D'MH 与 △CBE 是否相似 。

解答过程:

① 如图1,连接 OA ,在矩形 ABCD 中 ,CD= AB = 3 , AD = BC = 5 , ∠BAD = 90° ,

九年级数学相似图形压轴题解析一例(4)


在 Rt△ABD 中 ,由勾股定理可得 :BD = √34 。

∵ O 是 BD 的中点 , ∴ OD = OB = OA = √34/2 ,

∴ ∠OAD = ∠ODA ,

∵ OE = DE , ∴ ∠EOD = ∠ODE ,

∴ △ODE∽△ADO ,

∴ DO/AD = DE/DO , 即 DO^2 = DE ▪ AD ,

设 AE = x , 则 DE = 5 - x ,

∴ ( √34/2)^2 = 5 ▪ ( 5 - x ) ,

解得: x = 33/10 ,

∴ AE = 33/10 ;

② 如图2、过点 G 作 GK⊥BC ,垂足为点 K ,则 ∠GKB = 90° ,

九年级数学相似图形压轴题解析一例(4)


∵ 在矩形 ABCD 中 ,BE 平分 ∠ABC ,

∴ ∠ABE = ∠CBE = 45° ,AD∥BC ,

∴ ∠AEB = ∠EBC ,

∴ ∠AEB = ∠ABE ,△AEB 为等腰直角三角形 ,

∴ AE = AB = CD = 3 ,

∵ EF⊥EC ,∴ ∠FEC = 90° ,

又 ∵ ∠AEF + ∠DEC = 180° - ∠FEC = 90° ,∠AEF + ∠AFE = 90° ,

∴ ∠AFE = ∠DEC ,

∵ ∠A = ∠D = 90° , AE = DC ,

∴ △AEF≌△DCE (AAS)

∴ AF = DE = 2 , BF = AB - AF = 1 。

九年级数学相似图形压轴题解析一例(4)


∵ ∠GKB = ∠ABC = 90° , ∴ FB∥GK ,

∴ △CKG∽△CBF ,

∴ GK : BF = CK : CB ,

∵ ∠KBG = 45° ,∠GKB = 90° ,

∴ ∠BGK = 45° ,△BKG 是等腰直角三角形 。

设 BK = GK = y , 则 CK = 5 - y ,

∴ y : 1 = ( 5 - y ) : 5 , 解得 y = 5/6 ,

∴ BK = GK = 5/6 ,

∴ 在等腰直角 △BKG中 ,BG = √2 BK = 5√2/6 。

③ (1) 在矩形 ABCD 中 , ∠D = 90° ,

九年级数学相似图形压轴题解析一例(4)


∵ AE = 1 , AD = 5 , ∴ DE = 4 ,

∵ DC = 3 , ∴ 在 Rt△EDC 中,EC = 5 。

由折叠可知:ED' = ED = 4 , D'H = DH , ∠ED'H = ∠D ,

∴ D'C = 1 ,

设 D'H = DH = z , 则有 HC = 3 - z ,

在 Rt△HD'C 中,由勾股定理可得 :(3 - z)^2 = 1^2 + z^2 ,

∴ 解得 z = 4/3 ,

∴ DH = 4/3 , CH = 5/3 。

∵ D'N⊥AD ,∴ ∠AND' = ∠D = 90° ,

∴ D'N∥DC ,

∴ △EMN∽△EHD ,△ED'M∽△ECH ,

∴ MN/HD = EM/EH , D'M/CH = EM/EH ,

∴ MN/HD = D'M/CH ,

∴ D'M/MN = CH/HD = 5/4 ,

∴ S△ED'M :S△EMN = 5/4 ;

(2) 相似。

九年级数学相似图形压轴题解析一例(4)


理由:由折叠的性质可知,∠EHD' = ∠EHD ,∠ED'H = ∠D = 90° ,

∴ ∠MD'H + ∠ED'N = 90° ,

∵ ∠END' = 90° , ∴ ∠ED'N + ∠NED' = 90° ,

∴ ∠MD'H = ∠NED' ,

∵ D'N∥DC , ∴ ∠EHD = ∠D'MH ,

∴ ∠EHD' = ∠D'MH ,

∴ D'M = D'H ,

又 ∵ AD∥DC , ∴ ∠NED' = ∠ECB ,

∴ ∠MD'H = ∠ECB ,

∵ CE = CB = 5 ,

∴ D'M/CB = D'N/CE ,

∴ △D'MH ∽ △CBE 。

评注:此题是相似形综合题,主要考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,角平分线的定义,及列方程解未知数等知识,熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键。

九年级数学相似图形压轴题解析一例(4)