基本图形分析法：全等三角形几何题中的辅助线如何添加？

运用全等三角形来进行几何题的证明时，其中的难点就是在原有图形中，无法得到对应的几何图形，所以关键就需要根据题中存在的已知条件通过添加辅助线，从而得到对应的几何图形完成全等的证明。之后就是根据已证条件和已知条件完成后续的推导证明。

例4 如图5-5，已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AC=BD。求证：AB=DC。

图5-5

分析：本题要证AB=DC，实质上就是要证四边形ABCD是等腰梯形。这样要证明相等的这两条线段AB和DC就位于这个等腰梯形的轴对称部分，从而就可应用轴对称型全等三角形进行证明。根据由图形中的轴对称部分找全等三角形的方法，我们可以发现以AB和DC为对应边的全等三角形有两对，即（1）△ABC和△DCB，（2）△ABD和△DCA。

若考虑证明△ABC和△DCB全等，则已经有的条件是AC=DB，BC=CB，所以还应证明它们的夹角相等，即要证∠ACB=∠DBC。由于条件中给出AD∥BC，所以AC=DB是关于梯形对角线的性质，所以可将对角线平移到具有公共的端点，也就是过D作DE∥AC交BC的延长线于E（如图5-6），即可得四边形ACED是平行四边形，从而就有AC=DE，也就可得DB=DE。而这是两条具有公共端点D的相等线段，它们就可以组成一个等腰三角形，从而应用等腰三角形的性质，就可得∠DBC=∠E。而由AC∥DE，这一组平行线可以看作是被BE所截，又可得∠E=∠ACB，所以∠ACB=∠DBC就可以证明。

图5-6

若考虑证明△ABD和△DCA全等，那也可以用类似的方法完成分析。

例5 如图5-7，已知：AD=AC，∠ACB=∠ADB。求证：∠ABC=∠ABD。

图5-7

分析：由本题的条件AC=AD和∠ACB=∠ADB可知，若结论∠ABC=∠ABD成立，则△ABC和△ABD必定是一对轴对称型的全等三角形。

在△ABC和△ABD中，虽然还出现了AB=AB是公共边的条件，但构成的是两边和其中一边的对角对应相等，还不能证明这两个三角形全等，所以必须另证一个条件。

由于AC和AD是两条具有公共端点的相等线段，所以它们可组成一个等腰三角形，而这个等腰三角形现在只有腰而没有底边，所以应将底边添上，也就是联结CD（如图5-8），这样应用等腰三角形的性质就可得∠ACD=∠ADC，而已知∠ACB=∠ADB，从而就可推得∠BCD=∠BDC，BC=BD，这样也就可以完成分析。

图5-8