例7 如图5-11,已知:△ABC中,AB=2AC,∠A=2∠B。求证:∠C=90°

基本图形分析法:轻松明白运用对称轴添加辅助线的分析方法

图5-11

分析:本题的条件中给出了∠A=2∠B,这是两个角之间的倍半关系,所以可根据角的倍半关系的定义开始进行分析。

若考虑先作出∠A的一半,则作∠BAC的角平分线交BC于D(如图5-12),那么∠CAD=∠DAB=∠B,由于∠DAB和∠B是△DAB的内角,所以由这两个角相等,就可得DA=DB。

基本图形分析法:轻松明白运用对称轴添加辅助线的分析方法

图5-12

再由条件AB=2AC,那么根据线段的倍半关系的定义,取AB的中点E后(如图5-13),可得AE=1/2· AB=AC,但由于这样就出现了等腰△DAB的底边AB的中点E,所以可应用等腰三角形中的重要线段这个基本图形的性质进行证明,于是联结DE后(如图5-13),可得DE⊥AB,也就是∠DEA=90°。由于现在出现的两条相等线段AE和AC是关于AD成轴对称的,从而就可应用轴对称型的全等三角形进行证明。由于这时角平分线AD是对称轴,所以就可找到这对全等三角形应是△ADC和△ADE,而根据AE=AC,∠DAC=∠DAE,AD=AD,就可证明这两个三角形全等,从而就可证得∠C=∠DEA=90°

基本图形分析法:轻松明白运用对称轴添加辅助线的分析方法

图5-13

在由条件AB=2AC,并根据线段倍半关系的定义进行分析时,也可以先作出AC的两倍,也就是延长AC到E使CE=AC(如图5-13),那么就有AE=2AC=AB,这样AE和AB,这两条相等线段就是关于角平分线AD成轴对称的,所以可应用轴对称型全等三角形进行证明。而由AD是对称轴,就可以找到这对全等三角形应是△ABD和△AED,于是应先联结DE(如图5-14)。这样在△ABD和△AED中,就有AB=AE,∠BAD=∠EAD,AD=AD,所以△ABD≌△AED,也就可得DE=DB=DA,△DAE也是等腰三角形,而我们已经作出了EC=AC,所以应用等腰三角形中的重要线段的基本图形的性质就可证得DC⊥AC。

基本图形分析法:轻松明白运用对称轴添加辅助线的分析方法

图5-14

如果在根据两个角的倍半关系的定义进行分析时,考虑作出∠B的两倍,由于这时∠B有两条边,所以以哪条边作为两倍角的一边就出现了两种可能。

若考虑以BC为边,在∠B的外侧作角。则作∠ABD=2∠B,或者也就是作∠CBD=∠ABC交AC的延长线于D(如图5-15),即可得∠ABD=∠A,DB=DA。由于我们作出的BC是∠ABD的角平分线,而要证的结论是AC⊥BC,构成了角平分线和向角平分线所作垂线之间的组合关系,所以必定也得到一个等腰三角形的基本图形,所以问题就是要证BD=BA,实质上也就是要证BD、BA和DA都相等。由条件AB=2AC,所以问题就是要证BD也等于2AC。由于这两个数量关系涉及夹∠ABD的两边,所以想到要应用三角形的角平分线性质,即有BA/BD=AC/DC,但BA/AC=2所以BD/DC=2,即BD=2CD,但我们已证BD=AD,所以有AD=2CD,AC=DC,从而就可证得BD=BA,AC⊥BC。

基本图形分析法:轻松明白运用对称轴添加辅助线的分析方法

图5-15

若考虑以BA为边,在∠B的外侧作角,则作∠CBD=2∠CBA交CA的延长线于D(如图5-16),即可得∠BAC=2∠ABC=2∠ABD。由C、A、D成一直线,可得∠BAC就是△ABD的一个外角,△ABD就是一个等腰三角形,即AB=AD,但已知AB=2AC,所以有AD=2AC,AD/AC=2。而BA现在是∠CAD的角平分线,所以又可应用三角形的角平分线的性质得BD/BC=AD/AC,BD/BC=2,BD=2BC。这样又可以根据线段倍半关系的定义,取BD的中点E后(如图5-17),可得BE=BC。从而就出现了BE和BC这两条相等线段是关于角平分线BA成轴对称的,所以可添加一对轴对称型全等三角形进行证明,也就是联结AE后,由BE=BC,∠ABE=∠ABC和AB=AB,可得△ABC≌△ABE,∠C=∠AEB,这样要证明∠C=90°,就可以转而证∠AEB=90°,而在△ABD中,AB=AD,BE=DE,所以上述性质可以证明,分析也就可以完成。

基本图形分析法:轻松明白运用对称轴添加辅助线的分析方法

图5-16

基本图形分析法:轻松明白运用对称轴添加辅助线的分析方法

图5-17

基本图形分析法:轻松明白运用对称轴添加辅助线的分析方法