两边相等不会证？不一定要证两底角相等，垂直平分一样可行

本次的经典例题与之前求证几条线段的关系不同，这道例题是直接求证两条线段的相等关系。通常情况下，我们想到的是通过证明一个三角形的两底角相等来证明两条边相等，但对于此题而言就非常困难了。因此本题就需要运用其他基本图形性质来进行证明，本题的分析方法的关键运用到了轴对称型全等三角形和垂直平分线的性质。看看你是不是也想到了吧？

例11 如图5-28，已知：△ABC中，∠ACB=90°，CE是中线，D是AB上的一点，过D、B分别作AC、EC的平行线相交于F。求证CD=CF

图5-28

分析：本题的条件中出现了∠ACB=90°，CE是中线，所以就可以应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明。于是就可得EC=EB=EA，△EBC是等腰三角形，∠ECB=∠EBC（如图5-29）。又因为BF∥BC，这组平行线和等腰三角形的组合，就必然得到一条角平分线，也就是由BF、BC这组平行线被BC所截，所以∠ECB=∠FBC，从而可推得∠EBC=∠FBC。

图5-29

再由条件DF∥AC，∠ACB=90°，又可得DF⊥BC，而我们已经证明∠DBC=∠FBC，这样就出现了DF是向角平分线BC所作的垂线，从而就可以应用轴对称型全等三角形进行证明，也就可得△BDG≌△BFG（如图5-30）， DG=FG。这样BC就成为DF的垂直平分线，所以CD=CF就可以证明。

图5-30