通过构造等边、巧妙求角的问题,本文整理了一些题目,仅供参考一

例1

如图,已知在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,AB=AE,∠BAE=30,

求证:BE=CE

「初中数学」构造等边巧妙求角

分析

标注图中每个已知或易知角的度数

「初中数学」构造等边巧妙求角

通过"等角对等边"证明"BE=EC"的关键在于证明∠BCE=15°或∠ECA=30°,直接证似不可行,需要添加辅助线,进行边角的转化…

解法一

① 构造等边△APC

(做∠MAC=60°,在AM上截取AP=AC,联结PC)

② 证△APB≌△PBC

(AP=PC,AB=BC,PB=PB)

③ 证△APB≌△AEC

(AB=AE,∠PAB=∠EAC=15°,AP=AC)

④ ∠ECA=∠APB=30°

「初中数学」构造等边巧妙求角

解法二

① 构造等边△APB

(做∠BAM=15°,在AM上截取AP=AB,联结BP、EP)

② 求∠BPE

(在△AEP中,∠EAP=30°,AE=AP,则∠APE=75°,继而可得∠BPE=15°)

③ 证△BEP≌△BEC

(PB=AB=BC,∠PBE=∠EBC=15°,BE=BE)

④ ∠BCE=∠BPE=15°

「初中数学」构造等边巧妙求角

解法三

① 构造等边△PBE

(做∠EBM=60°,在BM上截取BP=BE,联结EP)

② 证△APB≌△APE

(AP=AP,AB=AE,PB=PE)

③ 证△APB≌△BEC

(AB=BC,∠ABP=∠EBC=15°,BP=BE)

④ ∠BCE=∠BAP=∠EAP=15°

「初中数学」构造等边巧妙求角

例2

如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=20°,若AD=BC,求∠BDC

「初中数学」构造等边巧妙求角

分析

20°角为顶角的等腰三角形是一个很有趣的三角形,其中蕴含了很多经典的几何问题,这是其中较简单的一道。

由于已知∠A=20°,所以求∠BDC重在求∠ACD,另外如何使用“AD=BC”这一条件也很关键…

解法一

① 构造等边△BPC

(做∠MBC=60°,在BM上截取BP=BC,联结PC、AP)

② 证△APB≌△ABC

(BP=PC,AB=AC,PA=PA)

③ 证△APB≌△ADC

(AD=BC=BP,∠ABP=∠DAC=20°,AB=AC)

④ ∠ACD=∠BAP=10°

「初中数学」构造等边巧妙求角

解法二

① 构造等边△ACP

(做∠CAM=60°,在AM上截取AP=AC,联结PC、PB)

② 证△ADP≌△ABC

(AD=BC,AP=AC,∠ACB=∠BAP=20°+60°=80°)

③ 求∠DCP

(在△DCP中,DP=AB=CP,∠DPC=60°-20°=40°,∠DCP=70°)

④ ∠ACD=70°-60°=10°

「初中数学」构造等边巧妙求角

解法三

① 构造等边△ABP

(做∠BAM=60°,在AM上截取AP=AB,联结PB、CP)

② 求∠BPC

(在△ACP中,AP=AB=CA,∠PAC=60°-20°=40°,∠APC=70°,∠BPC=70°-60°=10°)

③ 证△BCP≌△ADC

(AD=BC,∠BAC=∠PBC=20°,AB=AC=BP)

④ ∠ACD=∠BPC=10°

「初中数学」构造等边巧妙求角

以下两题与本帖两例类似,供大家尝试…

类题1

如图,已知在△ABC中,AC=BC,∠ACB=80°,O为△ABC内一点,∠OAB=10°,∠OBA=30°,求∠ACO的度数

「初中数学」构造等边巧妙求角

类题2

如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=20°,∠NBC=50°,∠BCM=60°,求∠NMC

「初中数学」构造等边巧妙求角

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