初中数学：分情况讨论+辅助圆+一线三角+相似，很典型的折叠题

在矩形ABCD中，AB=4，BC=9,点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点A＇，若点A＇到矩形较长两对边的距离之比为1:3，则AE的长为_________．

分析：题中没有图形需要自己依题意作出，本题的关键是“若点A＇到矩形较长两对边的距离之比为1:3”，怎样理解这个“1:3”？点A＇到哪条边是“1”，哪条边是“3”？题中没有给出明确的信息，因此做题时，我们只能分情况讨论：

①若A＇M：A＇N=3：1，如下图所示，由折叠可知B A＇=BA=4，∠BAE=∠B A＇E=90°,在Rt△A＇NB中由勾股定理可求得BN=√15. ∠EM A＇=∠BN A＇=∠B A＇E=90°，就构成了“一线三等角模型”，由此得△A＇NB∽△EM A＇，∴ A＇E：B A＇= A＇M：BN 代入数据可得AE= A＇E=4√15/5；

②若A＇M：A＇N=1：3，如下图所示，在Rt△A＇NB中由勾股定理可求得BN=√7. ∵△A＇NB∽△EM A＇，∴ A＇E：B A＇= A＇M：BN 可求得AE= A＇E=4√7/7；

③若NB：NA=1:3，如下图所示，在Rt△A＇NB中，依题意可知BN=2，A＇B=4，由勾股定理可求得, A＇N=2√3. ∵△A＇NB∽△EM A＇，∴ A＇E：B A＇= A＇M：BN 可求得AE= A＇E=4√3.

综上，AE=4√15/5，4√7/7或4√3.

【归纳总结】

1、当题中条件交代不明确、不清楚时候，就需要进行分类讨论；

2、矩形的折叠问题很容易出现“一线三直角模型”，这时一般要利用三角形相似对应边成比例去求解；

3、本题中画的辅助圆不是必要的，画出辅助圆只是为了更好的确定点A＇的位置. 折叠问题中，若有这种情况：“一定点一动点，两点间距离确定，则动点在圆上”，是可以构造辅助圆解决问题的，学生应该有这种认识并要学会熟练应用，这样对攻克相关题型很有帮助；

4、题中“∠EM A＇=∠BN A＇=∠B A＇E=90°，得△A＇NB∽△EM A＇”，可以认为是由角关系推导得到，也可认为是“一线三等角模型”的直接应用；

5、关于辅助圆的构造和“一线三等角模型”，分别在以前的文章《从2018年的一道中考真题说起——谈谈圆模型的构造原理及常见考题》和《2018年北京中考第27题，又见“一线三等角”，这次细讲，收藏好了》有专门的讲解，关注“胡不归数学课堂”后可查看.

6、这是一道几何综合题，包含了多种数学的模型、技巧、规律，这样的题认真做一遍再进一步归纳总结，对解题能力的提高大有裨益.

【配套练习】

如下图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E是射线BC上一动点，将△ABE沿AE翻折得到△AEF，延长AF交CD的延长线于点G．当BE=3EC时，线段DG的长为_______．

答案：分点E在线段BC上和在BC的延长线上两种情况，由勾股定理配合相似三角形可得到，DG的长为5/2或8.