新的课程课标中明确要求:用代数式表示数量关系及所反映的规律,发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳,猜想,找出一般规律,进而列出通用的代数式,称之为规律探究。在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜,频繁考查,考生大都感到困难重重,无从下手,导致丢分。

解决此类问题的关键是:"细心观察,大胆猜想,精心验证"。 笔者认为:只要善于观察,细心研究,知难而进,就会走出"山穷水尽疑无路"的困惑,收获"柳暗花明又一村"的喜悦。坐标系背景下几何图形规律探究问题更是令很多学生困惑,这一类题目一般是结合常见的几何图形,如等腰三角形、等边三角形、正方形、点在平面直角坐标系中的变化、函数图像等进行考察,一定要把握几何图形的特殊性质,然后从特殊到一般找规律即可。

例题:平面直角坐标系xOy中,点A₁,A₂,A₃,…和B₁,B₂,B₃,…分别在直线y=1/5x+b和x轴上.△OA₁B₁,△B₁A₂B₂,△B₂A₃B₃,…都是等腰直角三角形,如果A₁(1,1),

中考热点:三法破解坐标系下的几何图形规律探究问题


本题似曾相识燕归来,好像做过,穿了个马甲就不认识了?别急,这个图确实以前做过,不过,这次的条件不一样了,难度稍微增加了一点点。我们先分析完这道题,看一下能有几种方法来求解。

先看已知条件:A₁坐标已知,直线的解析式包含一个未知参数,将点A坐标代入,易得4/5,所以直线解析式为y=1/5x+4/5,由图,ΔOA₁B₁为等腰直角三角形,可得B₁点坐标(2,0)。

接下来的目标自然是求A₂的坐标。这一步也是本题解决的关键。方法有很多,这里介绍三个典型解法:

方法一,几何法:

设A₂(x,y),如图,有B₁N=A₂N,所以x=2+y,代入直线解析式,可得A2点坐标(7/2,3/2), 类似地,得到A₃点坐标(29/4, 9/4),

中考热点:三法破解坐标系下的几何图形规律探究问题


方法二,代数法

直线B₁A₂过点B₁且斜率为1,可得B₁A₂的解析式为y=x-2,与直线A₁A₂解析式连立,可求得点A₂的坐标,类似地,求得点A₃的坐标。

方法三,比例法

根据等比缩放原理,图中等腰直角三角形的边长以此等比例放大,只需要找出B₁A₂与OA₁的比值,就可以求出An的纵坐标了。观察ΔPOA₁与ΔPB₁A₂,有B₁A₂:OA₁=PB₁:PO。故此,求出P点坐标(-4,0)后,可秒得结果。

好了,三种解法介绍完了。一般地,对于直角坐标系规律题,代数法与比例法较为通用,但代数法一般计算较多,稍显繁琐,比例法往往比较快捷,但对我们的水平要求稍高一点。

中考热点:三法破解坐标系下的几何图形规律探究问题


中考热点:三法破解坐标系下的几何图形规律探究问题


中考热点:三法破解坐标系下的几何图形规律探究问题


牛刀小试:

1.(2018•罗平县三模)在平面直角坐标系xOy中,正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂B₁、A₃B₃C₃B₂,…,按图所示的方式放置.点A₁、A₂、A₃,…和点B₁、B₂、B₃,…分别在直线y=kx+b和x轴上.已知C₁(1,﹣1),C₂(7/2,-3/2),则点A₃的坐标是______ .

中考热点:三法破解坐标系下的几何图形规律探究问题


2(2018•贵港中考题)如图,直线l为y=√3x,过点A₁(1,0)作A₁B₁⊥x轴,与直线l交于点B₁,以原点O为圆心,OB₁长为半径画圆弧交x轴于点A₂;再作A₂B₂⊥x轴,交直线l于点B₂,以原点O为圆心,OB₂长为半径画

中考热点:三法破解坐标系下的几何图形规律探究问题


3.(2018•淮安中考题)如图,在平面直角坐标系中,直线l为正比例函数y=x的图象,点A₁的坐标为(1,0),过点A₁作x轴的垂线交直线l于点D₁,以A₁D₁为边作正方形A₁B₁C₁D₁;过点C₁作直线l的垂线,垂足为A₂,交x轴于点B₂,以A₂B₂为边作正方形A₂B₂C₂D₂;过点C₂作x轴的垂线,垂足为A₃,交直线l于点D₂,以A₃D₃为边作正方形A₃B₃C₃D₃,…,按此规律操

中考热点:三法破解坐标系下的几何图形规律探究问题

一般地,对于一次函数找规律题目,要先找出前面几个点的坐标,找到其规律性,然后推导出第N个点坐标的一般表达式,找到第n个图形与第n+1个图形之间的大小比例关系是解决此类题目的关键。

中考热点:三法破解坐标系下的几何图形规律探究问题