例题
一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC.
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。
知识点解析
1、二次函数的相关知识点
二次函数的解析式有三种:一般式:y=ax+bx+c,顶点式:y=a(x+b/2a)+(4ac-b)/4a,交点式:y=a(x-x1)(a-x2);
如果已知抛物线的顶点坐标,则可以按顶点式设二次函数解析式,只有一个未知数a,在抛物线上找到一个点的坐标,代入解析式就可求得a,从而解得二次函数解析式。
如果已知抛物线与x轴的两个交点的坐标,则可以按交点式设二次函数解析式,只有一个未知数a,求解二次函数解析式的方法与顶点式相同。
如果不是以上两种特殊情况,则可以按一般式设二次函数解析式,有三个未知数,则需要在抛物线上找到三个点的坐标,代入解析式就可求得a、b、c,从而解得二次函数解析式。其中,抛物线的对称轴为-b/2a,顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b)/4a),与y轴交点为(0,c)。
2、直角坐标系中求解两点间距离
在直角坐标系中,两点(x1,y1)、(x2,y2)间的距离计算公式:d=√(x1-x2)+(y1-y2),当两点在同一水平线上,即两点的纵坐标相同y1=y2,则d=|x1-x2|。
3、直角坐标系中求解中点坐标
在直角坐标系中,两个端点为(x1,y1)、(x2,y2)的线段中点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),当两点在同一水平线上,即y1=y2,则中点坐标为((x1+x2)/2,y1)。
4、化简带绝对值的代数式
含绝对值的代数式进行化简时,必须考虑绝对值里面代数式值的正负性。如果为非负数,则去绝对值符号后,代数式不需要变号;如果为负数,则去绝对值符号后必须变号。即当x≥0时,|x|=x;当x<0时,|x|=-x。
5、利用几何图形求解二次函数
与抛物线相关的几何图形存在大小或位置上的关系,必须转换为特殊点的坐标值关系,才能进行求解。比如三角形的边相等,必须转换为通过顶点坐标求解顶点间的距离。
解题过程
根据题目中的条件:抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,则选择交点式设函数解析式,再求得抛物线上一点C,代入函数解析式就可解得系数a和二次函数的解析式。
1、求C点坐标
根据题目中的条件:AC⊥BC,AC=BC,则△ABC为等腰直角三角形。
设抛物线的对称轴与x轴交于E点,根据等腰直角三角形的性质,则AE=BE=CE。
根据中点坐标值的计算公式,则E点的横坐标为(m-2+m+2)/2=m。
根据两点间距离的计算公式,则AB=|(m+2)- (m-2)|=4。
根据结论:AE=BE=CE,则CE=AE=AB/2=2。
根据题目中的条件:C点在x轴下方,则C点坐标为(m,-2)。
2、求解二次函数解析式
设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2),把C点坐标(m,-2)代入解析式,可解得:a=1/2。
所以,抛物线的解析式为:y=1/2(x-m+2)(x-m-2)=1/2(x-m)-2。
抛物线的顶点坐标为(m,-2),将抛物线左移m个单位、上移2个单位,就可以使顶点到达坐标原点。
3、求满足特殊条件的函数解析式
根据函数解析式:y=1/2(x-m+2)(x-m-2)=x/2-mx+m/2-2,可得D点坐标为(0,m/2-2)。
根据题目中的条件:抛物线交y轴正半轴于D点,则m/2-2>0,即m>2或m<-2。
根据题目中的条件:△BOD为等腰三角形,∠BOD为直角,则OD=OB。
根据题目中的条件和结论:B(m+2,0), D(0,m-4),OD=OB,则|m+2|= m/2-2。
根据结论:m的取值范围为m>2或m<-2,则分情况进行讨论:
当m>2时,|m+2|= m/2-2可化简为:m+2= m/2-2,解得m=4或m=-2,其中m=-2与条件m>2不符,舍去,则符合题意的解为:m=4;
当m<-2时,|m+2|= m/2-2可化简为:-m-2= m/2-2,解得m=0或m=-2,与条件m<-2不符,舍去,则没有符合题意的解。
所以,当m=4时,△BOD为等腰三角形。
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