例题

一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且ACBC

(1)若m为常数,求抛物线的解析式;

(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?

(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,问是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。

二次函数的解题思路


知识点解析

1、二次函数的相关知识点

二次函数的解析式有三种:一般式:y=ax+bx+c,顶点式:y=a(x+b/2a)+(4ac-b)/4a,交点式:y=a(x-x1)(a-x2);

如果已知抛物线的顶点坐标,则可以按顶点式设二次函数解析式,只有一个未知数a,在抛物线上找到一个点的坐标,代入解析式就可求得a,从而解得二次函数解析式。

如果已知抛物线与x轴的两个交点的坐标,则可以按交点式设二次函数解析式,只有一个未知数a,求解二次函数解析式的方法与顶点式相同。

如果不是以上两种特殊情况,则可以按一般式设二次函数解析式,有三个未知数,则需要在抛物线上找到三个点的坐标,代入解析式就可求得a、b、c,从而解得二次函数解析式。其中,抛物线的对称轴为-b/2a,顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b)/4a),与y轴交点为(0,c)。

2、直角坐标系中求解两点间距离

在直角坐标系中,两点(x1,y1)、(x2,y2)间的距离计算公式:d=√(x1-x2)+(y1-y2),当两点在同一水平线上,即两点的纵坐标相同y1=y2,则d=|x1-x2|。

3、直角坐标系中求解中点坐标

在直角坐标系中,两个端点为(x1,y1)、(x2,y2)的线段中点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),当两点在同一水平线上,即y1=y2,则中点坐标为((x1+x2)/2,y1)。

4、化简带绝对值的代数式

含绝对值的代数式进行化简时,必须考虑绝对值里面代数式值的正负性。如果为非负数,则去绝对值符号后,代数式不需要变号;如果为负数,则去绝对值符号后必须变号。即当x≥0时,|x|=x;当x<0时,|x|=-x。

5、利用几何图形求解二次函数

与抛物线相关的几何图形存在大小或位置上的关系,必须转换为特殊点的坐标值关系,才能进行求解。比如三角形的边相等,必须转换为通过顶点坐标求解顶点间的距离。

解题过程

根据题目中的条件:抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,则选择交点式设函数解析式,再求得抛物线上一点C,代入函数解析式就可解得系数a和二次函数的解析式。

二次函数的解题思路


1、求C点坐标

根据题目中的条件:ACBC,AC=BC,则△ABC为等腰直角三角形。

设抛物线的对称轴与x轴交于E点,根据等腰直角三角形的性质,则AE=BE=CE。

根据中点坐标值的计算公式,则E点的横坐标为(m-2+m+2)/2=m。

根据两点间距离的计算公式,则AB=|(m+2)- (m-2)|=4。

根据结论:AE=BE=CE,则CE=AE=AB/2=2。

根据题目中的条件:C点在x轴下方,则C点坐标为(m,-2)。

2、求解二次函数解析式

设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2),把C点坐标(m,-2)代入解析式,可解得:a=1/2。

所以,抛物线的解析式为:y=1/2(x-m+2)(x-m-2)=1/2(x-m)-2。

抛物线的顶点坐标为(m,-2),将抛物线左移m个单位、上移2个单位,就可以使顶点到达坐标原点。

3、求满足特殊条件的函数解析式

根据函数解析式:y=1/2(x-m+2)(x-m-2)=x/2-mx+m/2-2,可得D点坐标为(0,m/2-2)。

根据题目中的条件:抛物线交y轴正半轴于D点,则m/2-2>0,即m>2或m<-2。

根据题目中的条件:△BOD为等腰三角形,∠BOD为直角,则OD=OB。

根据题目中的条件和结论:B(m+2,0), D(0,m-4),OD=OB,则|m+2|= m/2-2。

根据结论:m的取值范围为m>2或m<-2,则分情况进行讨论:

当m>2时,|m+2|= m/2-2可化简为:m+2= m/2-2,解得m=4或m=-2,其中m=-2与条件m>2不符,舍去,则符合题意的解为:m=4;

当m<-2时,|m+2|= m/2-2可化简为:-m-2= m/2-2,解得m=0或m=-2,与条件m<-2不符,舍去,则没有符合题意的解。

所以,当m=4时,△BOD为等腰三角形。

二次函数的解题思路