一、基本知识核心内容

1、计数问题是数学竞赛中常常涉及的问题．

• 所谓计数，通俗地说就是数数，即把我们研究对象的个数数出来．

• 枚举法是解决关于计数问题的常用方法，枚举法就是把所要计数的对象一一列举出来，最后计算总数的方法．

2、对于简单的枚举法，一组既可列出；而对于较复杂的计数问题，难以用一组枚举法一一列举，就需要用“分组法”来计数了．其中列表和树状图都是应用枚举法解决问题常用的手段．

3、利用枚举法列举应注意：

①有序：即按一定的规律有顺序地进行计数；

②分组：即按照事物的相同属性（或不同属性）进行分组，分组的原则是既不重复又不遗漏；

③归纳：遇到复杂的问题，从符合条件的简单情形入手，利用不完全归纳法，分析归纳出一般的规律；

④对应：某些问题的种类与另一些问题有一一对应关系，可以利用它们之间的对应关系进行枚举法计数；

• 对应法：要求满足条件集合A的元素的个数，而又不易求出，常常寻找一个既能与集合A中的元素一一对应，同时又容易数出个数的集合B，从而由集合B的元素的个数推知集合A的元素的个数的方法叫做对应法．

⑤乘法原理与加法原理：

• 加法原理：如果要计数的对象有n类，每一类分别有m1种、m2种、m3种、…、mn种，那么这些对象总计有：m1+m2+m3+mn种，这种计数的方法叫做加法原理；

• 乘法原理：要完成一件事情需要n个步骤，完成每一个步骤各有m1种、m2种、m3种、…、mn种方法，那么完成这件事情共有：m1xm2xm3xmn种方法，这种计数的方法叫做乘法原理；

本节课主要学习简单的枚举、分组枚举、归纳枚举、对应枚举以及乘法与加法原理的简单应用

二、实战演练

1、简单的枚举法应用（列表与树状在枚举法中应用）

• 【例1】有4个球，分别写上号码：1，2，3，4；有4个抽屉，从左到右依次写上号码：一、二、三、四.现在要往每一个抽屉里放一个写有编号的球，恰好只有两个抽屉上的号码与球上书写的号码一致的情况有多少种？

【点拨】能否将抽屉的号码与球上的号码数字一致的所有情形一一列出？

【反思与小结】利用简单的枚举法解题需要耐心、细致，要将所有可能情形考虑全面。本题就是简单枚举法的应用。

• 【例2】某旅游团在a、b、c三个城市游览，规定今天在这个城市，明天一定去另一个城市.问从a城出发，第5天又回到a城的旅游线路有多少条？

【点拨】假设第一天是在a城，从a城出发有两条路线，一条是去b城，一条是去c城.若第二天在b城，又有两条路线，一条去a城，一条去c城；若第三天在c城，同样也有两条路线，一条去a城，一条去b城，能否借助树状图或列表的方法得到所有可能的情况？

【反思与小结】树状法或列表法是解决枚举法计数的主要方法。解答本例的方法就是把每天以及下一天到达城市的所有可能性列在图中，就形成了树状图，只要数一数“树梢”即可得出答案。树状图既形象直观，又简单方便，且条理明晰，不致重复遗漏。

2、分组枚举法的应用

分组法是指把要计数的对象分成几组，每一个对象必须属于一个组，并且只属于一个组，把各个组的计数相加得到总数的方法.

• 【例3】现有1元、5角、2角、1角四种纸币各一张，一共可以组成几种不同的币值？

【点拨】现有四张纸币，可以选择其中的1张、2张、3张或4张，分别组成不同的币值，能否按照选择纸币的张数进行分组计数？

【反思与小结】解决此类问题首先要恰当进行分组.

• 【例4】 有人顺序写下数1，2，3，…，10，11， ……，一直写到1000，一共写了多少个数字？其中写了多少个“0”？

【点拨】如何分组？能否按照一位数、两位数、三位数和四位数分组？能否按照0所在的位数分组？

【反思与小结】解本题的关键是确定适当的原则进行分类，再按不同类分别计数.分类法在计数中应用较为广泛，它的目的是化复杂为简单.

• 【例5】如图，从A地向B地是从西向东的方向，从A地走到B地，规定路线只能是由西向东走，那么从A处到B 处有几种不同的走法？

【点拨】能否尝试应用“格点计数法”？能否分别数出从A处到D、F、C、E、G、H、J、I、B的不同走法的数目？从中找出规律，进行解答？

【反思与小结】这种计数方法称为逐格点标数计数法.就是从最简单基本的点出发，数出到靠近出发点的点的不同走法，寻找规律，从而数出比较复杂的情形的方法。

3、加法原理和乘法原理的应用

• 【例6】如图所示，地图上有A，B，C，D，E，F六个地区，现在用红、黄、白、绿、蓝五种颜色，对每一个地区涂一种颜色，且使相邻地区的颜色不同，问一共有几种不同的涂色方法？

【点拨】能否利用加法原理和乘法原理分步骤给各地区涂颜色？要完成涂颜色的任务，根据条件相邻地区涂不同的颜色，需要分六个步骤进行涂颜色的枚举．最后得出所有涂颜色的方法.

【反思与小结】本例主要应用了加法原理和乘法原理.先利用加法原理确定了完成任务有两条途径，每一途径中又根据乘法原理进行了分步计数。注意两个原理的不同之处在于：用加法原理时，完成一件事有几类方法，不论用哪一类方法，都能完成这件事；而用乘法原理时，完成一件事情可分为几步，只有每步都完成了，这件事情才得以完成．

• 【例7】某宿舍管理员管理某个楼层的20间宿舍房门的钥匙，由于不小心，将门牌号码与钥匙弄乱了，现在需要通过试开锁的方法，将钥匙与门牌号码对应起来，问这位宿舍管理员至多需要开多少次就一定能将钥匙与门牌号码对应起来？

【点拨】分组尝试：试想将第一把钥匙与门牌号码对应起来，至多需要开几次?第二把钥匙与与门牌号码对应起来呢？……

【反思与小结】问题只要求钥匙与门牌号码对应起来，而没有要求将门打开，因此第一次开19次即可，依次类推，得出答案.

【举一反三】中国足球超级联赛2014年的战火马上就要打响．中国足球超级联赛共有16个球队采取单循环主客场的比赛规则，若每两个队比赛一场记为1场比赛，问2014年中国足球超级联赛共需要比赛多少场？

三、反思总结

计数问题必须做到不重不漏.为了保证不重复、不遗漏，就要寻找计数规律.

比较简单，且数目也不大时，枚举法是最基本而又简单的方法，即把对象的所有可能一一列举出来，数出总数即可．

当研究的对象比较复杂，且数目较大时，计数时常常要用到加法原理和乘法原理，

运用两个的理的关键在于分类要恰当，分步要合理，分类必须包括所有情形，又不要交错在一起产生重复，要依据同一标准划分，分步则应使各步首尾相接，环环相扣，随着各步依次完成，保证整个事件得到完成，不得多余、重复，也不得缺少某一必要步骤.

当然计数的方法不只仅于这两种，还有“归纳法”、“建立递推关系法”等.随着年级的升高，有关计数法的问题的内容将会更为丰富，以后我们还将会加以介绍.