全等动点问题步骤总结:

①找到两个三角形的等角(如例1,∠C=∠A=90º)

②固定一个三角形的字母表示方法(如例1,△BCA)

③将另一个三角形的的字母与固定的三角形一一对应有两种情况(△BCA≌△QAP以及△BCA≌△PAQ)

④将两种对应相等边写出来(BC=QA,CA=AP或者BC=PA,CA=AQ)

例1:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,要使△ABC和△APQ全等.AP的长应为_______.

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分析:

本题中,∠C=90°,AO⊥AC,则得到∠BCA=∠PAQ=90°,则点C必然与点A对应,因此△ABC与△APQ全等,只剩下了两种情况.

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例2:如图,AB=6cm,AC=BD=4cm.∠CAB=∠DBA,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).设点Q的运动速度为xcm/s,若使得△ACP与△BPQ全等,则x的值为________.

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分析:

本题中,因为∠CAB=∠DBA,所以点A与点B对应已经确定.两三角形全等也只剩两种可能.这里的时间t,速度x均为未知量,但可以建立方程,求出其中一个,再求另一个.

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例3:如图,已知△ABC中,AB=AC=24cm,∠ABC=∠ACB,BC=16cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.当点Q的运动速度为______cm/s时,能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等.

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分析:

本题可以看作例2的变式,几乎如出一辙,依旧是点B与点C对应,两种情况.

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例4:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P、Q是边AC、BC上的两个动点,PD⊥AB于点D,QE⊥AB于点E.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动;点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动,到达点C后停止运动,当t=_______时,△APD和△QBE全等.

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分析:

本题中,∠ADP=∠QEB=90°,则点D与点E对应,而∠A+∠APD=90°,∠A+∠B=90°,则∠APD=∠B,点P与点B对应,则△APD≌△QEB,而可以用含t的代数式表示的边是AP,BQ.要注意点P的运动路程为从C到A再返回C,表示边AP 时要分类讨论.

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