中考数学热点解读：一次函数应用题

一次函数作为初中数学三大函数之一，在中考数学中占据重要的位置，题型有选择题、填空题、解答题。相关的问题会考查一次函数的概念、图象与性质等，如分类讨论、一次函数综合问题、一次函数与几何综合问题等。

其中，与一次函数相关的应用题一直是中考数学热点，在全国很多地方的中考数学试卷作为必考考点。一次函数应用题，可以结合一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，去解决生产生活中大量实际问题，体现数学来源于生活，数学服务于生活的思想和应用价值。

同时，运用一次函数去解决实际问题，能有效的把“数”与“形”两方面进行结合，实现数形结合思想。

很多人应对中考函数复习，把很多精力都花在二次函数上面，忽视了一次函数的学习和积累，这是一件非常危险的事情。

因此，今天我们就一起来讲讲一次函数应用题的解题策略。

什么是一次函数？

一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx（k为常数，k≠0）。这时，y叫做x的正比例函数。

所有一次函数的图像都是一条直线。

中考数学，一次函数应用题，典型例题1：

在某市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的1/3．

（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？

解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，

根据题意得（30+15）/150+15/x=1/3，

解得：x=450，

经检验x=450是方程的根，

答：乙队单独完成这项工程需要450天；

（2）根据题意得（1/a+m/a）×40=2/3，

∴a=60m+60，

∵60＞0，

∴a随m的增大增大，

∴当m=1时，1/a最大，

∴1/a=1/60，

∴1/60÷1/450=7.5倍，

答：乙队的最大工作效率是原来的7.5倍

考点分析：

一次函数的应用；分式方程的应用．

题干分析：

（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意得方程即可得到结论；

（2）根据题意得（1/a+m/a）×40=2/3，即可得到a=60m+60，根据一次函数的性质得到1/a=1/6，即可得到结论．

解题反思：

此题考查了一次函数的实际应用．分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用。

一次函数应用题不仅包含了数形结合思想，还蕴含分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，大家一定要认真对待。

纵观近几年中考数学一次函数应用题，我们可以发现考查一般集中在一下子四个方面：

1、考查学生对数形结合的认识和理解；

2、考查学生将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；

3、考查学生对分类讨论、极端值、对应关系、有序性等数学思想方法掌握程度；

4、考查学生对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。

中考数学，一次函数应用题，典型例题2：

为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．

设总费用为W元，则W=6.4x+32+7（45﹣x）=﹣0.6x+347，

∵k=﹣0.6，

∴y随x的增大而减小，

∴当x=35时，W总费用最低，W最低=﹣0.6×35+347=137（元）．

题干分析：

（1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可；

（2）根据所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答．

解题反思：

此题主要考查了一次函数的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键。

中考数学，一次函数应用题，典型例题3：

小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．

（1）直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；

（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？

（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？

则小明和爸爸所走的路程与步行时间的关系式为：s=30t+250，

当50t﹣500=30t+250，即t=37.5min时，小明与爸爸第三次相遇；

（3）30t+250=2500，

解得，t=75，

则小明的爸爸到达公园需要75min，

∵小明到达公园需要的时间是60min，

∴小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5min．

题干分析：

（1）根据函数图形得到0≤t≤20、20＜t≤30、30＜t≤60时，小明所走路程s与时间t的函数关系式；

（2）利用待定系数法求出小明的爸爸所走的路程s与步行时间t的函数关系式，列出二元一次方程组解答即可；

（3）分别计算出小明的爸爸到达公园需要的时间、小明到达公园需要的时间，计算即可。

解题反思：

本题考查的是一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式、读懂函数图象是解题的关键。

在中考数学中，一次函数应用题题型多种多样，如有方案设计问题（物资调运、方案比较）、分段函数问题（分段价格、几何动点）、由形求式（单个函数图象、多个函数图象）、一次函数多种变量及其最值问题等等。

无论是哪种形式的中考数学应用题，要想拿到相应的分数，都必须掌握好一次函数基础知识概念、函数图象与性质等内容，提高运用知识解决问题的能力。

大部分一次函数应用题因其语言叙述较多，数据量较大，给同学们的审题、解题带来很多不便，造成的解题失误较多。因此，考生在在解决问题过程中，一定认真审题，理清题意，抓住每一个解题关键，不遗留任何题干信息。

中考数学，一次函数应用题，典型例题4：

某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？

（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；

（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？

解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，

（3）∵26＞14，

∴小英家5月份水费为3.5×26﹣21=69元，

答：小英家5月份水费69吨．

考点分析：

一次函数的应用．

题干分析：

（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元，根据题意列出方程组，求解此方程组即可；

（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的取值范围；

（3）根据小英家5月份用水26吨，判断其在哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可。

解题反思：

本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围。

解决与一次函数应用题相关的问题，我们可以采用这样方法：将文字语言转化成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法；

或是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。

中考数学，一次函数应用题，典型例题5：

梧州市特产批发市场有龟苓膏粉批发，其中A品牌的批发价是每包20元，B品牌的批发价是每包25元，小王需购买A、B两种品牌的龟苓膏共1000包．

（1）若小王按需购买A、B两种品牌龟苓膏粉共用22000元，则各购买多少包？

（2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为500元．若小王购买会员卡并用此卡按需购买1000包龟苓膏粉，共用了y元，设A品牌买了x包，请求出y与x之间的函数关系式．

（3）在（2）中，小王共用了20000元，他计划在网店包邮销售这批龟苓膏粉，每包龟苓膏粉小王需支付邮费8元，若每包销售价格A品牌比B品牌少5元，请你帮他计算，A品牌的龟苓膏粉每包定价不低于多少元时才不亏本（运算结果取整数）？

解：（1）设小王需购买A、B两种品牌龟苓膏粉分别为x包、y包，

（3）由（2），可得

20000=﹣4x+20500

解得x=125，

∴小王购买A、B两种品牌龟苓膏粉分别为125包、875包，

设A种品牌龟苓膏粉的售价为z元，

则B种品牌龟苓膏粉的售价为z+5元，

∴125z+875（z+5）≥20000+8×1000

解得z≥23.625，

∴A品牌的龟苓膏粉每包定价不低于24元时才不亏本．

考点分析：

一次函数的应用．所有

题干分析：

（1）设小王需购买A、B两种品牌龟苓膏粉分别为x包、y包，则得到方程组，据此求出小王购买A、B两种品牌龟苓膏粉分别为多少包即可．

（2）根据题意，可得y=500+0.8×[20x+25（1000﹣x）]，据此求出y与x之间的函数关系式即可．

（3）首先求出小王购买A、B两种品牌龟苓膏粉分别为多少包，然后设A种品牌龟苓膏粉的售价为z元，则B种品牌龟苓膏粉的售价为z+5元，所以125z+875（z+5）≥20000+8×1000，据此求出A品牌的龟苓膏粉每包定价不低于多少元时才不亏本即可．

解题反思：

此题主要考查了一次函数的应用，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。