下面一起来先看一道中考真题,与二次函数有关的分类讨论综合题型,典型例题分析1:

如图所示,在平面直角坐标系xoy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4,-2/3).

(1)求抛物线的表达式.

(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动。设S=PQ2(cm2).

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;

②当S取5/4时,在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.

(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.

教你解与二次函数有关的分类讨论综合问题

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考点分析:

二次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;平行四边形的性质。

题干分析:

(1)设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;

(2)①由勾股定理即可求出,②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为三种情况:A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标.

(3)A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标。

解题反思:

本题主要考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式,勾股定理,平行四边形的性质,二次函数图象上点的坐标特征等知识点,解此题的关键是综合运用这些知识进行计算.此题综合性强,是一道难度较大的题目。


在中考数学中,二次函数与分类讨论本身就是属于难点较大、综合性较强的知识内容,他们更是每年中考数学的热门考点。因此,在中考数学中,一旦把二次函数与分类讨论结合在一起,就加大题目的难度,对考生的解题能力提出了挑战。

数学学习讲究思维性,分类讨论更是体现这种思维性,体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略。

在平时的数学学习过程中,大家一定要清醒的认识到一点:中考数学不仅仅考查的知识点、定理、公式,更加考查大家的知识运用能力,解决问题能力等。

与二次函数有关的分类讨论综合题型,典型例题分析2:

如图,抛物线y=ax2﹣4ax+c(a≠0)经过A(0,﹣1),B(5,0)两点,点P是抛物线上的一个动点,且位于直线AB的下方(不与A,B重合),过点P作直线PQ⊥x轴,交AB于点Q,设点P的横坐标为m.

(1)求a,c的值;

(2)设PQ的长为S,求S与m的函数关系式,写出m的取值范围;

(3)以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系?并写出对应的m取值范围.(不必写过程)

教你解与二次函数有关的分类讨论综合问题

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考点分析:

二次函数综合题。

题干分析:

(1)利用待定系数法把点A、B的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可;

(2)先求出直线AB的解析式,然后分别求出点P与点Q的坐标,则PQ的长度S就等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标,然后整理即可;

(3)根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况,又点P可以在对称轴左边也可以在对称轴右边,进行讨论列式求解即可.

解题反思:

本题考查了待定系数法,直线与二次函数相交的问题,直线与圆的位置关系,综合性较强,对同学们的能力要求较高,(3)中要注意分点P有在对称轴左边与右边的两种情况,容易漏解而导致出错。

在解决与函数相关的综合问题过程中,我们经常会用到分类讨论等数学思想,面对此类问题,大家一定不要紧张,千万记住在解决问题过程中,认真仔细的对问题各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,拿到分数。