一，二次函数y=a(x+h)²+k的图像和性质
1.二次函数y=a(x+h)²+k的图像是一条抛物线，它的顶点是（-h，k) 对称轴是x=-h
当a＞0时，图像开口向上，有最低点，即顶点是（-h，k) 当x=-h时，y有最小值为k；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。
当a＜0时，图像开口向下，有最高点，即顶点是（-h，k) 当x=-h时，y有最大值为k；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。
2.抛物线y=a(x+h)²+k与y=ax²的关系
抛物线y=a(x+h)²+k可由抛物线y=ax²平移得到，它们的形状相同，位置不同。
把y=ax²的图像先沿着x轴向左（或向右）平移|h|个单位后，得到y=a(x±h)²的图像；再沿着y轴向上（或向下）平移|k|个单位，得到y=a(x±h)²+k的图像。
例如y=3(x-2)²+1的图像是由抛物线y=3x²向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的。
注意：y=ax²上、下平移后得到y=ax²±k的规律是“上加下减”
y=ax²左、右平移后得到y=a(x±h)²的规律是“左加右减”
3.由于从y=a(x+h)²+k（a≠0）中，可直接看出抛物线的顶点坐标，所以把y=a(x+h)²+k（a≠0）叫做二次函数 的顶点式；把y=ax²+bx+c（a≠0）叫做二次函数的一般式。
注意：顶点决定抛物线的位置，几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线开口方向，开口大小完全相同，只是顶点不同。
例如：y=3x²与y=3x²+1、y=3x²+2x等只是顶点位置不同。
抛物线的移动主要看顶点的移动，如：y=3x²与y=(x+1)²+3的位置关系，先求出顶点，y=3x²的顶点坐标是（0，0），y=(x+1)²+3的顶点坐标是（-1，3），平移时与上、下、左、右的先后顺序无关。
二，二次函数的一般式y=ax²+bx+c与二次函数的顶点式y=a(x+h)²+k的相互转化
1.顶点式y=a(x+h)²+k转化一般式y=ax²+bx+c
例如：y=(x-1)²+2 （顶点式）
=x²-2x+1+2
=x²-2x+3 （一般式）
解题技巧：将顶点式中的括号打开，再进行合并同类项。
2.一般式y=ax²+bx+c转化顶点式y=a(x+h)²+k
y=ax²+bx+c
=a[x²+(b/a)x+(c/a)]
=a[x²+2(b/2a)x+(b/2a)²-(b/2a)²+(c/a)]
=a[x+(b/2a)]²+(4ac-b²)/4a
令h=b/2a，k=(4ac-b²)/4a，则y=a(x+h)²+k
因此，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-b/2a ，顶点坐标[-b/2a,(4ac-b²)/4a]
解题技巧：利用配方法在一般式加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，这样一加一减，与原来式子恒等。
三，求抛物线的顶点和对称轴的方法
1.公式法：y=ax²+bx+c
= a[x+(b/2a)]²+(4ac-b²)/4a
顶点坐标[-b/2a,(4ac-b²)/4a] 对称轴是x=-b/2a
2 .配方法：将抛物线的关系式化为 y=a(x+h)²+k ，得到顶点为（-h，k)，对称轴是直线x=-h
四，二次函数y=ax²+bx+c图像的画法
1.描点法：把二次函数y=ax²+bx+c化为 y=a(x+h)²+k的形式；确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图。
注意：若抛物线与x轴有交点，最好选取交点描点，特别是在画抛物线草图时，应注意以下各项：
开口方向、顶点、对称轴、与x轴的交点、与y轴的交点。
2.平移法：利用配方法把二次函数y=ax²+bx+c化为 y=a(x+h)²+k的形式，确定其顶点（-h，k)；画出y=ax²的图像；将抛物线y=ax²的图像平移，使其顶点平移到（-h，k)。
注意：平移图像的基本要点：上加下减、左加由减。
网络图片
四，用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤
设，先设出二次函数的解析式，一般式y=ax²+bx+c、顶点式y=a(x+h)²+k、交点式y=a(x-x1)(x-x2)其中a≠0。
代，根据题中所给的条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程组。
解，解此方程（组）求待定系数。
还原，将求出的待定系数还原解析式中。
五，抛物线的解析式的确定方法：一般式y=ax²+bx+c、顶点式y=a(x+h)²+k、交点式y=a(x-x1)(x-x2)其中a≠0。
考生们一定要熟练掌握这几种方法，根据题意正确选择采用哪种形式合适。
六，用合适观点看一元二次方程
（一）抛物线与直线的交点
1.抛物线y=抛物线y=ax²+bx+c与y轴的交点与y轴的交点是（0，c)
2.抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点，因为x轴上的点的纵坐标都是0，所以令y=0代入得ax²+bx+c=0
若△≥0，则这个抛物线与x轴有交点。
若△＜0，则这个抛物线与x轴没有交点。
3.一次函数y=kx+b1(k≠0)的图像与二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像的交点由方程组y=kx+b1与y=ax²+bx+c联立的解的个数决定。
当方程组有两个不同的解时→两个函数有两个交点。
当方程组有两个相同的解时→两个函数有一个交点。
当方程组无解时→两个函数没有交点。
逆向也成立。
（二）二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0的关系
抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标x1、x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根。
△=b²-4ac决定抛物线与x轴交点的个数。
△＞0→抛物线与x轴有两个交点。
△=0→抛物线与x轴有一个交点。
△＜0→抛物线与x轴没有交点。
七，二次三项式、一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系
当二次三项式为0时，便是一元二次方程，此时x的值是一元二次方程的解，也是二次函数的图像与x轴交点的横坐标。
当二次三项式大于0（或小于）时，便是一元二次不等式，即考虑x值在哪个范围内变化时为正或为负，若二次函数y=ax²+bx+c的图像在x轴上方（或下方），则ax²+bx+c＞0（或＜0），此时ax²+bx+c＞0（或＜0）的解集为全体实数或无解。
加载中,请稍侯......
精彩评论