如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点M是x轴下方的抛物线上的一个动点,过点M作MN⊥x轴,交直线BC于点N,求四边形MBNA的最大面积,并求出点M的坐标;

(3)在抛物线上是否存在一点P,使△BCP为直角三角形?若存在,求出P点坐标,如果不存在,请说明理由.

中考数学,专题复习68:二次函数、几何动点相关综合题

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考点分析:

二次函数综合题.

题干分析:

(1)设交点式y=a(x﹣1)(x﹣3),然后把C点坐标代入求出a即可;

(2)如图1,先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+3,设M(x,x2﹣4x+3)(1<x<3),则N(x,﹣x+3),则MN=﹣x2+5x,利用三角形面积公式得到四边形MBNA的面积=AB•MN/2=2•(﹣x2+5x)/2,然后根据二次函数的性质解决问题;

(3)先判断△OBC为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,讨论:过B点作PB⊥BC交抛物线于P点,交y轴于Q点,如图2,则∠CBQ=90°,判断△OBQ为等腰直角三角形得到OQ=OB=3,则Q(0,﹣3),易得直线BQ的解析式为y=x﹣3,通过解方程组得到此时P点坐标;过C点作PC⊥BC交抛物线于P点,如图3,则∠PCB=90°,同样方法可得易此时P点坐标;当∠BPC=90°时,如图4,作PH⊥y轴于H,BF⊥PH于F,设P(t,t2﹣4t+3),易证得△CPH∽△PBF,利用相似比得到比例等式,于是通过约分整理得到t2﹣5t+5=0,然后解方程求出t即可得到此时P点坐标。