一、常见的几何最值问题:

1、如图、已知直线 l 及点 A、B,在直线 l 上做点 P ,使 PA + PB 最小。

中考数学二次函数中的几何最值问题

图(1)

当 P 、 A 、 B 三点共线时,PA + PB 最小,最小值为 AB 。

依据:两点之间的线段距离最短。

2、如图、已知直线 l 及点 A、B,在直线 l 上做点 P ,使 PA + PB 最小。

中考数学二次函数中的几何最值问题

图(2)

当 P 、 A 、 B' 三点共线时,PA + PB 最小,最小值为 AB' 。

依据:两点之间的线段距离最短。

3、如图、已知直线 l 及点 A ,在直线 l 上作点 P ,使 PA 最小。

中考数学二次函数中的几何最值问题

图(3)

依据:垂线段最短。

4、如图、已知直线 l 及点 A、B ,点 B 在直线 l 上,在直线 l 上做点 P ,使 PA + 1/2PB 最小。

中考数学二次函数中的几何最值问题

图(4)

中考数学二次函数中的几何最值问题

图(5)

作法:

①过终点 B 在直线 l 下方作一条射线 BM ,使之与 BP 构成的角满足 sina = 1/2 , a = 30° ;

②过起点 A 做该射线的垂线 AH ;

③该垂线与直线 l 的交点 P' 即为所求。

依据:当 A、P'、H 三点共线时,P‘A + 1/2P'B 最小,最小值为 AH 。

二、典型例题:

例题、如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线 y = -x^2 + 2x +3 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C ,点 D 是抛物线的顶点,点 P(3/2 , 15/4)是抛物线上一点。

(1)点 A、B、C、D 的坐标分别是多少?

(2)如图2,M 为 y 轴上一动点,求 BM + DM 最小值及此时点 M 的坐标。

(3)如图3,M 为 y 轴上一动点,N 为抛物线对称轴上一动点,且 MN⊥y轴,求 PN+MN+BM 的最小值。

中考数学二次函数中的几何最值问题

图(6)

中考数学二次函数中的几何最值问题

图(7)

中考数学二次函数中的几何最值问题

图(8)

解:

(1)A(-1,0); B(3,0); C(0,3);D(1,4)。

(2)

中考数学二次函数中的几何最值问题

图(9)

(3)

中考数学二次函数中的几何最值问题

图(10)

三、总结:

1、2个原理: ①两点之间,线段最短;②垂线段最短。

2、2种手段: ①轴对称;②平移。

3、1种思想:转化的思想。