基本图形分析法：轴对称型全等三角形的经典例题详细分析

今天的这道全等三角形经典例题，对于学过了全等三角形的同学来说都非常容易。关于本章的轴对称型，本题也例举了此方法来进行分析证明。

例3 如图5-3，已知：△ABC中，AB=AC，D、E是BC上的两点，AD=AE。求证：BD=CE。

图5-3

分析：在本题要证的结论BD=CE中，我们可以发现这两条相等线段是位于等腰三角形的轴对称部分，所以可应用轴对称型全等三角形进行证明。

现在图形中在轴对称的位置上出现的全等三角形有两对，即（1）△ABD和△ACE，（2）△ABE和△ACD。所以应用哪一对全等三角形进行证明就出现了两种可能。

（1）由于要证明相等的线段BD、CE可以看作是△ABD和△ACE的一组对应边，所以可首先考虑证明△ABD和△ACE全等，由条件AB=AC、AD=AE，且由于这是出现在等腰三角形中的轴对称型全等三角形，所以可应用等腰三角形的性质进行证明，那么由AB=AC，可得∠B=∠C，但这时出现的是两边和其中一边的对角对应相等，仍然不能证明这两个三角形全等。所以还要另外证明一个性质，由条件AD=AE，应用等腰三角形的性质可得∠ADE=∠AED，而由B、D、E和D、E、C成一直线，就可证明∠ADB=∠AEC，这样就可证明△ABD≌△ACE。

（2）如果应用△ABE和△ACD这一对全等三角形进行证明，那么可由AB=AC，AD=AE，应用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，∠AEB=∠ADC，从而就可证明△ABE≌△ACD，BE=CD，然后在这两条相等线段中，将它们的公共部分DE减去，即可证得BD=CE。

由于本题要证明相等的线段BD和CE是位于一个等腰三角形的轴对称部分，所以可添加轴对称型的全等三角形进行证明。由于图形中现在没有对称轴，于是可先将对称轴添上，也就是过A作AF⊥BC，垂足是F（如图5-4），那么由AD=AE，AF=AF和∠AFD=∠AFE=90°，就可证明△ADF≌△AEF，DF=EF。根据同样的道理，还可以证明△ABF≌△ACF，BF=CF，所以BD=CE也就可以证明。