在解决与圆有关的问题时,有很多典型的、常用的辅助线,本文为你分享,通过构造直径上的圆周角来解答相关问题。


圆中常用的辅助线之一——构造直径上的圆周角



分析:本题根据已知条件“∠A=40°”,容易求得∠C的度数是140°,∠B与∠D是互补的关系。怎么求∠D呢?利用条件“AD是直径”,我们可以考虑构造“直径上的圆周角”,而要构造直径上的圆周角,此题又有两种方法,不同的构造,直接导致解答的繁简程度不同。同时,如果利用条件“D是弧BC 的中点”又有另一种添加辅助线的方法,因此,此题共有三种构造辅助线的方法.具体看下图:


圆中常用的辅助线之一——构造直径上的圆周角

哪种构造对解答最简单?


解答留给读者。答案70°


圆中常用的辅助线之一——构造直径上的圆周角



分析:第(1)小题DB、DE在同一个三角形中,可以考虑利用“等角对等边”来证明。重点分析一下第(2)小题。圆心在何处?半径(或直径)在哪里?由条件“∠BAC=90°”可知BC是直径。所以,求出BC即可得到半径。如何求BC呢?只有一条已知线段DB=4,利用地(1)小题最多能得到DE。Rt△ABC中没有已知的边啊!似乎无从着手!此时,如果想不到构造“直径上的圆周角”,那你真的会陷入困境!想得到构造这条常用的辅助线,那就容易了。看下图:

圆中常用的辅助线之一——构造直径上的圆周角



再来理一理思路:由∠BAC=90°→BC是直径→构造直径BC所对的另一个圆周角∠BDC→∠BDC=90°→同时由AD平分∠BAC→∠BAD=∠CAD→弧BD=弧CD→BD=CD=4→勾股定理求BC。

圆中常用的辅助线之一——构造直径上的圆周角


圆中常用的辅助线之一——构造直径上的圆周角



分析:还是构造直径上的圆周角,有两种不同的构造,看下图:


圆中常用的辅助线之一——构造直径上的圆周角



答案:60°

圆中常用的辅助线之一——构造直径上的圆周角