1题4解求动点P点坐标,全面讲解二次函数中,三角形面积最值问题


二次函数,是中考的一个重点,也是一个难点。特别是压轴大题,代数几何综合题型,更是考试常见。但是,很多同学觉得这类题型实在太难,望而生畏。

比如二次函数图像中,抛物线先上是否存点动点P,使得三角形面积最大,然后求出动点P此时的坐标。这就是最经典最常见的二次函数图像面积最值问题。

今天,通过一道中考真题,用四种不同的方法来一起探讨这一类题型。希望同学们认真体会,理解透彻,举一反三。

1题4解求动点P点坐标,全面讲解二次函数中,三角形面积最值问题


解法一,割补法。就是把通过图形割和补的方式,把三角形的面积求法表达出来。这个方法,最简单最常用。

解法一,方法1,设动点P的坐标,△PBC的面积等于△PBE面积加梯形的面积,再减去三角形BOC的面积。

把三角形PBC的面积表达出来,得到一个二次函数的顶点式。即可求出面积最大值。

1题4解求动点P点坐标,全面讲解二次函数中,三角形面积最值问题


解法一,方法2。连接PO,三角形PBC的面积等于三角形BOP面积加三角形COP的面积,再减去三角形BOC的面积。

和方法1一样,最后得到一个二次函数的顶点式,即可求出三角形面积的最大值。

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解法二、铅垂定理法。上面这个图片,就是铅垂定理的基本知识点。

铅垂定理的求法公式就是,三角形的面积等于水平宽度与铅垂高度乘积的一半。

任何一个三角形,都可以用这个方法来求面积。在直角坐标系中,只要求出一个三角形水平宽度,和铅垂高度,那么这个三角形的面积就出来了。

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这个题目,作PE⊥x轴交BC于F,则水平宽度就是OB的长度,铅垂高度就是PF的长度。

后面的就是直接套用铅垂定理的公式,经过化简,得出二次函数的顶点式,即可求出三角形面积最大值。

请看详细解题过程,铅垂定理真的很重要。很多题型中,铅垂定理求面积更简单。

1题4解求动点P点坐标,全面讲解二次函数中,三角形面积最值问题


解法三,切线法。切线法,就是过点P做BC的平行线,当这个平行线与二次函数的图像只有一个交点时,则BC边上的高就是最大值。

底一定,高最大,当然面积最大。请看详细解题过程。有问题,欢迎评论区留言。

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解法四、三角函数法。这个方法看起来好像很难,其实也很简单。详细请看解题过程。

同学们也可以通过这个方法,来练习和巩固一下三角函数知识和相关题型。

总之,从以上四种解法的基本思路,都是过点P作辅助线,设P的坐标。然后把相关的线段用含未知数的代数式表达出来,根据面积求法公式,得到一个二次函数的顶点式,即可得到面积的最大值,和P点的坐标。

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