函数的图象是高考的必考点,对于研究函数的单调性、奇偶性以及最值(值域)、零点有举足轻重的作用,但是很多同学看到眼花缭乱的函数解析式,就已经晕头转向了,再去画图象,不是这里错,就是那里有问题,图象也画的乱七八糟,更甭提利用图象去解题了!

但掌握以下几步,画函数图象将轻而易举:

1、首先,观察是否是基本初等函数(也就是我们在课本中学过的那几类函数),如果是,那就可以直接画;

2、如果不是,继续第二步,看看是否是经过一系列函数变换的,比如:翻折变换,对称变换,伸缩变换,平移变换等,如果是,那就根据变换的规律画出图象;

3、如果还不是,那基本这个函数图象也不需要你独自画出来了,那种题目基本会考查选择题,能从4个选项中选择出来就可以了!(今天不研究那种函数图象)

下面,给大家整理一些常用函数的图象以及函数变换的规律,希望大家能学明白!


一、基本初等函数的图象

一次函数

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

性质:一次函数图象是直线,当k>0时,函数单调递增;当k<0时,函数单调递减。

二次函数

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

性质:二次函数图象是抛物线,a决定函数图象的开口方向,判别式b^2-4ac决定了函数图象与x轴的交点,对称轴两边函数的单调性不同。

反比例函数

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

性质:反比例函数图象是双曲线,当k>0时,图象经过一、三象限;当k<0时,图象经过二、四象限。

要注意表述函数单调性时,不能说在定义域上单调,而应该说在(-∞,0),(0,∞)上单调。

指数函数

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

当0<a<b<1<c<d时,指数函数的图象如下图

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

不同底的指数函数图象在同一个坐标系中时,一般可以做直线x=1,与各函数的交点,根据交点纵坐标的大小,即可比较底数的大小。

对数函数

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

当底数不同时,对数函数的图象是这样变换的。

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

幂函数

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

性质:先看第一象限,即x>0时,当a>1时,函数越增越快;当0<a<1时,函数越增越慢;当a<0时,函数单调递减;然后当x<0时,根据函数的定义域与奇偶性判断函数图象即可。

对勾函数

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

对于函数y=x+k/x,当k>0时,才是对勾函数,可以利用均值定理找到函数的最值。

二、函数图象的变换

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

注意对于函数图象的变换,有的时候,看到解析式,可能会有两种以上的变换,尤其是针对x轴上的,那么此时,一定要根据上面的规则,判断好顺序,否则顺序错了,可能就没办法经过变换得到了!

例如:画出函数y=ln|2-x|的图象

通过研究这个函数解析式,我们知道此函数是由基本初等函数y=lnx通过变换而来,那么这个函数经过了几步变换呢?变换的顺序又是如何?下面我们一起来看一看:

我们需要看一个重要点:y=ln|x-2|与y=ln|2-x|是两个完全一样的函数,也就意味着画出y=ln|x-2|的图象就是y=ln|2-x|的图象。这样问题就简化了。我们尽可能使x前面的系数为正,这样比较好操作。

这时,通过解析式x上附加的东西,我们会发现,有翻折变换:y=lnx变为y=ln|x|,加上绝对值,还有平移变换:y=ln|x|变为y=ln|x-2|,图象向右平移两个单位。

所以,我们可以得出:

第一步,画出函数y=lnx的图象;

第二步,翻折变换;

第三步,平移变换。

第一步:画出函数y=lnx的图象

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

第二步:进行翻折变换,得到函数y=ln|x|的图象

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

第三步:进行平移变换,得到函数y=ln|x-2|的图象,即y=ln|2-x|的图象

高中7种常用函数图象及4种函数图象变换规则

点评:根据绝对值的性质,发现y=ln|x-2|与y=ln|2-x|与是两个完全一样的函数,也就意味着画出y=ln|x-2|的图象就是y=ln|2-x|的图象。变x前面的系数为正,这是解决这个问题的关键。