(2015安徽理)

设椭圆E的方程为

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|, 直线OM的斜率为

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

(1)求E的离心率e;

(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

,求E的方程。

分析:

这道题难度不是很大,但是大部分同学没有做出来的原因,不光是这种类型题没有掌握好,还有没有把握好时间,做前面的题目浪费了太多的时间,导致做到这道题时时间不够了,所以得分都不是很高!

同学们在掌握各类题型时,掌握了之后就要多练,能十分钟做完,绝不用十一分钟!

解析:

今天这道题用了“翻译条件”这个方法来解决圆锥曲线问题,也就是说要把题目中晦涩的条件转化为数学式子。

首先,浏览一遍题目,画图(几何题一定要画图)。

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

先把已知条件写出来,

能用a,b,c代替也算是已知条件

A(a,0),B(0,b),

点M在线段AB上,|BM|=2|MA|,

所以得到

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

设M(x,y),根据上面向量关系式得到:

(x,y-b)=2(a-x,-y),所以得到M点坐标:

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

,

直线OM的斜率为

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

到这里,题目中的条件已经“翻译”完了,接下来要看,这问求什么?

我们发现,求的是离心率,也就是找到a,c的关系。

那么我们先找到a、b的关系

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

再根据椭圆中的a,b,c的关系即可得到所求,即:

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

第二问,还是如此的办法:

C(0,-b),

因为N为线段AC的中点,所以N

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

接下来用a,b表示点N的对称点的坐标。

注意:

求对称点的坐标,一般会列两个方程,

点与对称点的连线与已知直线垂直,

所以斜率相乘为-1,点与对称点的中点在已知直线上,

这样列出两个方程来对称点的坐标也就能求出来了!

设点N的对称点为R,坐标为(x,y),直线AB的方程为:

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

根据上面两点可列方程:

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

解上面的方程,用a,b表示出y,把a,b的关系带进去,令y=7/2,解得:

“翻译条件法”巧解圆锥曲线大题

总结:

本题主要考察了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系,考察了推理能力与计算能力,同学们看明白后,一定要自己试试做一遍,有时间的话找类似的题多练习,熟能生巧!