韦达定理是初中数学中的一条非常重要的定理,涉及的章节包括一元二次方程,二次函数。在中考中也多有涉及。

初中数学运用“韦达定理”解题的题型详解


一、已知一元二次方程的一个根,求另一根

例1:关于x的一元二次方程(m﹣1)x²﹣x﹣2=0,若x=﹣1是方程的一个根,求m的值及另一个根.

分析 本题可直接解方程求出另一根,但如果应用韦达定理可更快解决.应用时应把方程化为一般形式ax²+bx+c=0(a≠0).根据选择使得到另一根易于计算的原则,酌情选择用两根之和或两根之积.

初中数学运用“韦达定理”解题的题型详解


二、一元二次方程根、两根关系及字母系数的互求

例2 已知关于x的一元二次方程x²+6x+a=0(a为常数)的一个根为√11-3,求a的值.

初中数学运用“韦达定理”解题的题型详解


三、求两根和、积及其代数式的值.

例3.若x₁,x₂是关于x的方程x²﹣2x﹣5=0的两根,则代数式x₁²﹣3x₁﹣x₂﹣6的值是_________

分析:通过韦达定理求出x₁+x₂与x₁x₂的值,将其整体代入到所求的代数式中求值。

初中数学运用“韦达定理”解题的题型详解


四、检验某两数是否为已知一元二次方程的两根

例4 试检验4+3√2与4-3√2是不是方程x²-8x+4=0的两根。

分析 本题可分别把两数代入检验,但计算量大,如果应用韦达定理,可只检验两数之和是否为8,两数之积是否为4,若都符合则为原方程两根,否则不是.

五、结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号

例5  m为何值时,关于x的一元二次方程(m+3)x²-mx+1=0的两个根,

(1)均为正数; (2)一正一负; (3)均为负数,

分析 本题用常规方法有一定难度.利用一元二次方程根的判别式与韦达定理相结合,比较容易确定两根的符号.

初中数学运用“韦达定理”解题的题型详解

初中数学运用“韦达定理”解题的题型详解